Đề thi năng khiếu môn Toán lớp 8 năm học 2014-2015 Phòng GD-ĐT Quỳnh Lưu, Nghệ An

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O.. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.. a Chứng minh: ∆OEM vuông cân.. Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH LỚP 8

NĂM HỌC 2014 - 2015

Đề thi môn: Toán

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho biểu thức

2

3 x 3x 27 3x x 3

              a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để giá trị của A < -1

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015

Câu 3 (1,0 điểm)

Cho các số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 = 3

Tính giá trị của biểu thức: P = x25

+ y4 + z2015

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM

a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân

b) Chứng minh: ME // BN

c) Từ C, kẻ CH  BN (H  BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (với k N*) Chứng minh rằng: 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên

- Hết -

Họ và tên thí sinh: SBD:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

1a

ĐKXĐ: x ≠ -3;0;3

A =

:

 

0,5

1

1b

Với x ≠ {-3;0;3} ta có:



         

Kết hợp với điều kiện ta có 0 < x ≠ 3 thì A < -1

0,5 0,5 2a x

3

- 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0

 (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0

 x = 2; x = - 1

0,5 0,5

2b

P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015

P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010

P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010  2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 3; 1

x y

0,5 0,5 0,5

3

Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx <=> 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx)

<=> (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2 = 0

<=> x = y = z

Thay vào biểu thức: x2014 + y2014 + z2014 = 3 => x = y = z = 1

Với x = y = z = 1 thi P = 3

Với x = y = z = -1 thì P = -1

0,25 0,25 0,25 0,25

4a

Xét ∆OEB và ∆OMC

Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC

Và B1C1450

BE = CM ( gt )

H' 1

1

3 2 1 E

N H

M O

D

C B A

 OE = OM và O1O3

Lại có O2O3  0

90

BOC vì tứ giác ABCD là hình vuông

O2O1 0

90

EOM  kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 0,5

4b

Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông  AB = CD và AB // CD 0,25 + AB // CD  AB // CN  AM BM

MN  MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*)

0,25

Ta có : AM AE

4c

Gọi H’ là giao điểm của OM và BN

Từ ME // BN OMEOH B' ( cặp góc đồng vị)

Mà OME450 vì ∆OEM vuông cân tại O

0 1

∆OMC ∆BMH’ (g.g)

0,25

'

OM MC

BM MH

  ,kết hợp OMBCMH'( hai góc đối đỉnh)

0,25

' 45

OBM MH C

BH CBH M MH C CH'BN

Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm) 0,25

5

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = 1

4k (k + 1)(k + 2) 4=

1

4k(k + 1)(k + 2) (k  3) (k 1)

= 1

4k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -

1

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

Mặt khác k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1

= (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)