Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN
* Bảng: B
* Lớp: 10
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1: (4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x+ y = 2x y+ + 2.
Câu 2: (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f: → thỏa mãn điều kiện
2012 (f x− + 1) 2011 (1f −x) =x, ∀ ∈x .
Câu 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình: ( )
2 2
4 2 2 15
4 2 2 15
⎪
⎨
Câu 4: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi a > 0 thì:
a2013 – 2013a + 2012 ≥ 0
Câu 5: (4 điểm)
Cho đường tròn ( ) :C x2+ y2 +4x+2y+ = và đường thẳng 3 0
(C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất
- HẾT -
(Gồm 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN
* Bảng: B
* Lớp: 10
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm)
- Phương trình: 2x+ y = 2x+ y +2 (1)
2
2 2 4 2
Từ (2) , (3) suy ra 2xy là số chẵn và 2x+ y là số nguyên
Đặt 2xy= 2t, t ∈ +
Kết hợp với (1) và (2), ta có hệ:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
= +
=
1 2
2 2
t y x
t xy
Suy ra 2x và y là nghiệm của PT: X2 – (t + 1)X + 2t = 0 (4) (0.5đ)
PT (4) có Δ = t2 - 6t + 1 = (t - 3)2 - 8
PT (4) có nghiệm nguyên khi Δ ≥ 0 và Δ là số chính phương
Ta có Δ ≥ 0 ⇔ 0 < ≤ −t 3 2 2 hoặc t≥ + 3 2 2 ⇒ t ≥ 6 (0.5đ) Nên ta có (t - 5)2 ≤ Δ < (t - 3)2 (0.5đ) + Δ = (t - 5)2 ⇔ t2 - 6t + 1 = (t - 5)2 => t = 6 (thỏa mãn)
+ Δ = (t - 4)2 ⇔ t2 - 6t + 1 = (t - 4)2 => 2t = 15 (loại)
Vậy nghiệm của (1) là:( )x y; = (8; 9) (0.5đ)
Câu 2: (4 điểm)
2012 (f x− +1) 2011 (1f −x)=x
Đặt a = 2012, b = 2011
Thay x bởi x+1, ta có
af x +bf − = +x x (1.0đ)
( ) ( ) 1 (2)
af x bf x x
Cộng (1) và (2) theo vế ta có:
(a b f x)( ( ) f( x)) 2 f x( ) f( x) 2
a b
+ (1.0đ) ( ) ( ) 1
1 ( )
2 ( ) ( )
af x bf x x
x
f x
a b a b
f x f x
a b
+ − = +
⎧
⎪
+ − =
⎩
(1.0đ) (Gồm 03 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Vậy ( ) 1
4023
f x = +x (0.5đ)
Câu 3: (4 điểm)
( ) ( )
2
2
⎪
⎨
Lấy (1) trừ (2) ta được: (4x−4y)(4x+4y+4)=2y−2x (1.0đ) ⇔(2x−2y)(8x+8y+9)=0
x y
=
⎡
• Với x y= , ta có: ( )2
4x+2 =2x+15 ⇔ 16x2+14x− =11 0 1
2
x
⇔ = hoặc 11
8
• Với 8x+8y+ =9 0, ta có: ( )2 8 9
4
x
⇔ 64x2+72x−35 0=
9 221 16
9 221 16
x x
=
⎢
⎢
⇔
=
⎢⎣
x=− ± ⇒ =y − ∓
Vậy hệ có các nghiệm là:
Câu 4: (4 điểm)
BĐT đã cho tương đương với: a2013 + 2012 2013a (0.5đ) + Biến đổi và dùng BĐT Cô-si, ta có:
a2013 + 2012 = a2013 +
2012 sô
1 1 1 + + + (1.5đ)
≥ 2013 2013a2013 = 2013a (1.0đ)
+ Vậy BĐT đã được c/m và dấu “=” xảy ra khi a = 1 (1.0đ)
Câu 5: (4 điểm)
- Xác định được I(-2; -1) và bán kính của (C) là R = 2 (0.5đ)
Trang 4- Viết được công thức tính diện tích của tam giác IAB: 1 2
.sin 2
IAB
SΔ = R AIB (0.5đ)
- Lập luận được SΔIAB đạt giá trị lớn nhất ⇔sinAIB=1 (0.5đ) ⇔d(I;d) 1= (1.0đ)
2
1 3
1 1
m m
−
+ (0.5đ)
0 3 4
m m
=
⎡
⎢
⇔
⎢ =
⎣
(0.5đ)
- Kết luận (0.5đ)
-