Câu 5: 4 điểm Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy tùy ý một điểm M.
Trang 1Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN
* Bảng: A
* Lớp: 10
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1: (4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x2 + 16y2 −x y2 2 = 14 xy
Câu 2: (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f: → thỏa mãn điều kiện
2012 (f x− + 1) 2011 (1f −x) =x, ∀ ∈x .
Câu 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình: ( )
2 2
4 2 2 15
4 2 2 15
⎪
⎨
Câu 4: (4 điểm)
Chứng minh rằng với mọi a > 0 thì:
a2013 – 2013a + 2012 ≥ 0
Câu 5: (4 điểm)
Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy tùy ý một điểm M Chứng minh rằng T = MA4 + MB4 + MC4 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
- HẾT -
(Gồm 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN
* Bảng: A
* Lớp: 10
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm)
Phương trình: 4x2 +16y2 −x2y2 =14xy (1)
- Có x = y=0 thỏa mãn phương trình (1) (1.0đ)
- Khi x,y∈Z, xy≠0 thì
(1) ( 2 ) 2 1
2 2
xy xy
Phương trình (2) có VT là số chính phương và VP là tích của 2 số nguyên
liên tiếp nên suy ra 1 0
2
xy − = ⇔ xy=2 (3) (1.0đ)
Từ (2) và (3) suy ra 2
1
x y
= −
⎧
⎨ = −
⎩ hoặc
2 1
x y
=
⎧
⎨ =
Kết luận nghiệm của (1) là: 0
0
x y
=
⎧
⎨ =
⎩ ,
2 1
x y
= −
⎧
⎨ = −
⎩ và
2 1
x y
=
⎧
⎨ =
Câu 2: (4 điểm)
2012 (f x− + 1) 2011 (1f −x) =x
Đặt a = 2012, b = 2011
Thay x bởi x+1, ta có
af x +bf − = +x x (1.0đ)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có:
(a b f x)( ( ) f( x)) 2 f x( ) f( x) 2
a b
+ (1.0đ)
1 ( )
2 ( ) ( )
af x bf x x
x
f x
a b a b
f x f x
a b
+ − = +
⎧
⎪
+ − =
⎩
(1.0đ)
Vậy ( ) 1
4023
f x = +x (0.5đ)
Câu 3: (4 điểm)
( ) ( )
2 2
⎪
⎨
Lấy (1) trừ (2), ta được: (4x−4y)(4x+4y+4)=2y−2x (1.0đ) (Gồm 03 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3⇔(2x−2y)(8x+8y+9)=0
x y
x y
=
⎡
• Với x y= , ta có: ( )2
4x+2 =2x+15 ⇔ 16x2+14x− =11 0 1
2
x
⇔ = hoặc 11
8
• Với 8x+8y+ =9 0, ta có: ( )2 8 9
4
x
⇔ 64x2+72x−35 0=
16
16
x x
=
⎢
⎢
⇔
=
⎢⎣
x=− ± ⇒ =y − ∓
Vậy hệ có các nghiệm là:
Câu 4: (4 điểm)
BĐT đã cho tương đương với: a2013 + 2012 2013a (0.5đ)
+ Biến đổi và dùng BĐT Cô-si, ta có:
a2013 + 2012 = a2013 +
2012 sô
1 1 1 + + + (1.5đ)
≥ 2013 2013a2013 = 2013a (1.0đ)
+ Vậy BĐT đã được c/m và dấu “=” xảy ra khi a = 1 (1.0đ)
Câu 5: (4 điểm)
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC và lập luận được OA OB OC+ + = 0
(0.25đ)
- Viết được MA2 = 2(R2 +MO OA. ) (0.25đ)
- Viết được T= 4 2 ( ) ( ) (2 ) (2 )2
12R + 8 R MO OA OB OC+ + + 4 MO OA + 4 MO OB + 4 MO OC.
(0.25đ)
- Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng OA, OB, OC
Lập luận được ( ) (2 ) (2 )2 2 ( 2 2 2)
MO OA + MO OB + MO OAC =R OA +OB +OC (1.0đ)
- Lập luận được A1, B1, C1 là các đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đường
kính OM (1.0đ)
Trang 4- Lập luận được 2 2 2 2
3 2
OA +OB +OC = R (1.0đ)
- Vậy T = 18R4 (0.25đ)
-