1 Tính xác suất cả ba học sinh đều giỏi môn toán.. 2 Tính xác suất có ít nhất một học sinh giỏi toán.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và AF.. Chứng minh rằng tam giác CMN là tam
Trang 1KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 ( thời gian 90 phút ) A/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7điểm )
Câu 1: ( 2 điểm ) Giải các phương trình sau:
1) 3 sin cos 2sin
4
x− x= x−π
2) sin 4x− 3 sin 2x+4cos 2x−2 3 0=
Câu 2: ( 2 điểm ) Một lớp có 48 học sinh, trong đó có 20 học sinh giỏi môn toán, 16 học sinh giỏi môn văn
và 12 học sinh giỏi môn lịch sử, (giả sử mỗi học sinh giỏi không quá một môn).Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
1) Tính xác suất cả ba học sinh đều giỏi môn toán
2) Tính xác suất có ít nhất một học sinh giỏi toán
Câu 3: ( 1 điểm ) Tìm *
n∈¥ , biết hệ số của x trong khai triển của biểu thức 2 (1 4 + x)nlà 240
Câu 4: ( 2 điểm )
1) Cho hai tam giác đều ABC và ECF như hình vẽ.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và AF
Chứng minh rằng tam giác CMN là tam giác đều
2) Cho tứ diện ABCD, gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BC Gọi K là điểm trên BD
sao cho BK = 3KD Tìm giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK và suy ra thiết diện của tứ diện ) cắt bởi mặt phẳng (IJK )
B/ PHẦN TỰ CHỌN ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần sau:
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: ( 2 điểm )
1) Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và trong
đó mỗi số phải có mặt chữ số 9
2) Cho dãy số ( )u xác định bởi công thức n 1 2
1
3 7
u
=
= +
Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng ( )u n là dãy số tăng.
Câu 6a: ( 1 điểm ) Cho đường tròn (C) có phương trình x2 +y2 − 6x+ 4y− = 12 0 Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vr= − ( 1;1)
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: ( 2 điểm )
1) Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và trong đó mỗi số phải có mặt chữ số 3 và chữ số 5
2) Xác suất trúng máy bay của mỗi quả đạn là 0,3, biết rằng muốn hạ máy bay cần ít nhất một quả trúng Tính xác suất hạ được máy bay khi bắn ba quả đạn
Câu 6b: ( 1 điểm ) Trong mặt phẳng (O ) xy ,cho phép vị tự tâm O tỉ số k ≠0biến ba điểm thẳng hàng , ,A B C
lần lượt thành ba điểm ', ', 'A B C Chứng minh rằng ', ', ' A B C thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
… Hết…
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM - HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010- 2011
N M
E A
C
Trang 2A Phần chung dành cho tất cả thí sinh
3 sin cos 2sin
4
sin os sin
2 x 2c x x 4
π
os sin sin os sin
2
2
− = − +
⇔
− = − + +
17 24
k∈¢
0,25 0,25 0,5
Câu1.2 sin 4x− 3 sin 2x+4cos 2x−2 3 0=
2sin 2 cos 2x x 3 sin 2x 4 cos 2x 2 3 0
2cos 2 sin 2x x 2 3 sin 2x 2 0
(sin 2x 2 2 cos 2) ( x 3) 0
sin 2 2
3 cos 2
2
x x
= −
3 cos 2
2
x
12 12
k
π π
π π
= +
= − +
¢
0,25 0,25 0,5
Câu2.1 Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 48 học sinh ,các kết quả đồng khả năng xảy ra
48 ( ) 17296
Gọi A là biến cố chọn ba học sinh đều giỏi toán
20 ( ) 1140
Suy ra ( ) ( ) 285
( ) 4324
n A
P A
n
Ω
0,25 0,25 0,5 Câu2.2 Gọi B là biến có ít nhất là một học sinh giỏi toán
Suy ra B là biến cố không có học sinh giỏi toán và 3
28
n B =C = Suy ra ( ) ( ) 3276 819
( ) 17296 4324
n B
P B
n
Ω
Do đó ( ) 1 ( ) 1 819 3505
4324 4324
0,5 0,25 0,25 Câu3 Ta có (1 4 )n 0 1 4 2 16 2 3 64 3 n( )4 n
Suy ra hệ số chứa x2là 2
16
n
Theo giả thiết hệ số của x2là 240 nên ta có 2 ( 1)
2
n
n n
30 0
5
n
n n
n
=
⇔ − − = ⇔ = − ⇔ =n 6
0,5 0,25
0,25
Câu4.1
(loại)
Vô nghiệm
(loại)
Trang 3Ta có
CA CB ACB= = vàCF CE FCE= ;· =600
nên thực hiện phép quay tâm C góc quay
0
60 , biến F thành E và A thành B
Suy ra phép Q( ;60 )C 0 biến AF thành BE nên
biến trung điểm N của AF thành trung điểm
M của BE
Do đó CN CM NCM= ;· =600
CMN
⇒ ∆ là tam giác đều
0,5 0,25
0,25
Câu4.2 Hình vẽ (0,25)
Trong mặt phẳng (BCD), ta có
JB 1,KB 3
JC = KD = nên JB KB
JC ≠ KD suy ra JK
không song song với CD nênJK cắt
CDtại E, do đó E∈ (ACD E); ∈ (IJK).
Trong (ACD), gọi F là giao điểm của
AD và IE mà IE⊂ (IJK).
nên F là giao điểm của AD và (IJK)
Mặt khác (IJK) ( ∩ ABC) =IJ
(IJK) ( ∩ BCD) =JK
(IJK) ( ∩ ABD) =KF
(IJK) ( ∩ ACD) =FI
Vậy thiết diện thu được là tứ giác IJKF
0,25
0,25
0,25
B Tự
Câu5a1 Số có năm chữ số khác nhau được lập từ các số {1;2;3; 4;5;6;7;8;9}
là 5
9 15120
mà trong đó số có năm chữ số khác nhau được lập từ các số {1; 2;3; 4;5;6;7;8}
không có mặt chữ số 9 là 5
8 6720
Vậy số có năm chữ số khác nhau mà mỗi số có phải có mặt chữ số 9
là 15120 6720 8400− =
0,25
0,25 0,5 Câu5a2 Để ( )u n là dãy số tăng ta cần chứng minh 1 , *
n n
u + >u ∀ ∈n ¥ (1) Với n=1 ta có u2 = > =4 3 u1 ,suy ra (1) đúng với n=1
Giả sử (1) đúng với n k k= , ∈ ¥ ,k≥ 1, nghĩa là u k+1>u k
ta cần chứng minh (1) đúng với n k= +1, tức là u k+2 >u k+1
Thật vậy , u k+2= 7 +u2k+1 > 7 +u2k =u k+1 (đpcm)
Vậy u n+1>u n đúng ∀ ∈n ¥ * ⇒un là dãy số tăng.
0,25 0,25 0,5
N M
E A
C
I
J
A
B
C
D K
Trang 4Câu 6a Đường tròn (C) có tâm I(3; 2) − và bán kính R=5
Ta có ( ) '( '; ') ' 3 1 2
v
x
T I I x y
y
= − =
= ⇔ = − + = −
Vậy phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép T Vurlà:
2 2
(x−2) + +(y 1) =25
0,25 0,25
0,5
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu5b1 Vì số có năm chữ số khác nhau mà mỗi số có mặt chữ số 3 và chữ số 5,
nên ta cần chọn bộ ba số trong các số {1;2; 4;6;7;8;9} có 3
7
C cách chọn
Ứng với mỗi cách chọn một bộ ba số cùng với chữ số 3 và chữ số 5 ta lập
được 5! số có năm chữ số khác nhau có mặt 3 và 5
Vậy số cố năm chữ số cần tìm là 3
7 5! 4200
0,25
0,25 0,5 Câu5b2 Gọi A i là các biến cố quả đạn thứ i bắn trúng máy bay, i= 1, 2,3
và P A( ) 0,3i = ; các biến cố A i độc lập
Gọi B là biến cố hạ được máy bay ⇒B là biến cố không hạ được máy bay
và B A= 1A A2 3
Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
P B =P A A A =P A P A P A = − = Vậy xác suất hạ được máy bay là P B( ) 1= −P B( ) = −1 0,343 0,657=
0,25 0,25 0.25 0,25 Câu 6b Ta có A;B;C thẳng hàng ,giả sử B nằm giữa A và C nên AB BC+ =AC (1)
Phép vị tự tâm O tỉ số k≠0 biến A,B,C lần lượt thành A’, B’, C’
ta có A B' '= k AB⇒ AB= 1k A B' '
B C' '= k BC⇒BC= 1k B C' '
A C' '= k AC⇒AC= 1k A C' '
Thay vào (1) ta được 1k A B' '+ 1 B C' '
k = 1 A C' ' A B B C' ' ' ' A C' '
Vậy A B C', ', ' thẳng hàng và B'nằm giữa A' và C'
0,5
0,5