c Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng MNP.. Khi đó mỗi số abcd được lập từ các chữ số trên là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.. M là trung điểm SA, O là tru
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ THI HỌC I NĂM 2014 – 2015
ĐỀ SỐ 8 MÔN TOÁN 11
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 3 điểm ) Giải các phương trình sau:
a) sin cos 2 2sin2 1 sin2
4 2
x
b) sin 3x= cos cos2x tan2x + tanx ( 2x)
6
x− x+ π − x+ =
Câu 2 (1,5 điểm )
a) Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức
11 3
x x
+
. b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau
Câu 3 (1 điểm)
Trong một hộp có 3 quả cầu màu xanh, 4 quả cầu màu vàng và 5 quả cầu màu trắng Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu Tính xác suất để trong 3 quả cầu lấy ra có đúng 2 quả cầu màu vàng
Câu 4 (1điểm) Cho cấp số cộng (un) có
= +
= + 18
14 6 2
5 1
u u
u u
Tính S20
Câu 5 (3điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
AB, CD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SNP) và mặt phẳng (SAC)
b) Chứng minh: SC // (MNP).
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Thiết diện đó là hình gì? Vì sao?
Câu 6: (0,5 điêm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn C n2−6C n1 =24 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
nhị thức Niu- tơn của 2 3 n
x x
−
(với x>0).
HẾT
-(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 8
m
1 a
b
Giải phương trình: a, sin cos 2 2sin2 1 sin2
4 2
x
sin cos 2 2sin 1 sin ( ) sin cos 2 cos 2 (1 s inx) 0
x
x x+ x= − π − ⇔ x x− x+ − =
1 (sin 1)(cos 2 ) 0
2
sin 1
1 os2
2
x
=
⇔
=
2
6
k
π π
= +
= ± +
¢
x= +π k π x= +π kπ x= − +π kπ k Z∈
.*-b, sin 3x= cos cos2x tan2x + tanx ( 2x) ĐK: cos 0
cos 2 0
x x
≠
0.5 0.5
0.5 1
Khi đó
2 2
sin 2 sin sin 3 cos cos 2
os2x os
sin 2 osx+cos2x.sinx = cosx.sin2x + cos2x os2x.sinx = cos2x
cos 2 0 (không tm) sinx=0
sinx
1 (không tm do sin os os2x=0) cosx
x
⇔
- Nếu sinx= ⇔ =0 x k k Z tmdkπ, ∈ ( ) Vậy nghiệm của PT đã cho là x k k= π, ∈Z;
c
2
5
6
6
x
π
π
− + − ÷+ = ⇔ − ÷+ − ÷+ =
− = −
⇔ + − ÷− − ÷= ⇔
⇔ − = − + ⇔ = − + ∈¢
0.5
2 A
b
Số hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển là:
k
+
Số hạng chứa x5 ứng với: 11 -2k = 5 ⇔k = 3
Vậy số hạng chứa x5 trong khai triển trên là: T3 =33C x113 5 =4455.x5
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là: abcd
Khi đó mỗi số abcd được lập từ các chữ số trên là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử
Vậy, số các số có 4 chử số khác nhau được lập từ các chữ số trên là chỉnh hợp chập 4 của 6 phần
tử, và bằng:A64 = 360
Vậy có thể lập được 360 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25
3 Gọi A là biến cố: “lấy được đúng 2 quả cầu màu vàng”
Trang 3Ω là không gian mẫu của phép thử trên.
Khi đó: n A( )=C C42 81=48; n ( ) Ω = C123 = 220
Vậy xác suất của biến cố cần tìm là: ( ) ( ) 48 12
( ) 220 55
n A
P A
n
Ω
0.5
0.5 4
20 10.19 440
0.5 0.5 5
Q
O P
N
M
B A
S
0.5
a Xác định giao tuyến (SAC) và (SNP)
Gọi O=AC∩NP (O chính là trung điểm AC), khi đó:
∈ ⊂
⇒ O là điểm chung thứ nhất của (SAC) và (SNP) (1)
Mặt khác: ( )
∈
∈
⇒ S là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SNP) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SO là giao tuyến của (SAC) và (SNP)
0.25 0.25 0.25 0.25 b
Chứng minh: SC // (MNP) Ta có:
//
NA DP
NA DP
=
suy ra ANPD là hình bình hành
Suy ra: NP//AD//BC Điều đó chứng tỏ NO là đường trung bình ∆ABC.
Suy ra O là trung điểm AC.
M là trung điểm SA, O là trung điểm AC, do đó MO là đường trung bình của ∆SAC
SC MO
0.25
0.25 0.5
c Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
+ Xét giao tuyến của ba mặt phẳng: (ABCD), (MNP), (SAD).
Ta có:(ABCD)∩ (MNP) = NP, (ABCD)∩ (SAD) = AD
(MNP) ∩ (SAD) = ∆, ∆ qua M
Vì ba giao tuyến trên song song hoặc đồng quy và NP // AD nên ∆ // AD
+ Đặt: Q = ∆ ∩ SD
+Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ
* Vì MQ // NP nên tứ giác MNPQ là hình thang
0.25
0.25
6 Đk: n N n∈ , ≥2
3 ( ) 2
n n
=
−
− = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = − Với n = 16 có:
16 16 16 16 4 48
16
−
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn: 4 48
3
k
k
− = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : C161224 = 29120
0,5
Trang 4
SỞ GD&ĐT THANH HÓA ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM 2014 – 2015
ĐỀ 9 MÔN TOÁN
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 3 điểm ) Giải các phương trình sau:
a) 2 sin x 3 3 − =(3 sin x 2 sin x 3 tan x 2 + − )
4 2
sin
x+π x x
6
x− x+ π − x+ =
Câu 2 (1,5 điểm )
a) Tìm số hạng chứa x7 trong khai triển của biểu thức
11 2
x x
+
. b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau
Câu 3 (1 điểm)
Trong một hộp có 3 quả cầu màu đỏ, 4 quả cầu màu vàng và 5 quả cầu màu trắng Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu Tính xác suất để trong 3 quả cầu lấy ra có đúng 2 quả cầu màu đỏ
Câu 4 (1điểm) Cho cấp số cộng (un) có 1 4
2 5
14 18
+ =
+ =
Câu 5 (3điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,
BC, DA
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SNP) và mặt phẳng (SBD)
b) Chứng minh: SD // (MNP).
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Thiết diện đó là hình gì? Vì sao?
Câu 6.(0,5 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : ( ) 3 2 n
x
= + ÷
Biết rằng số nguyên dương
C +3C +3C +C =2C +
HẾT
-(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 5HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 9
Câ
a
b
a.Giải phương trình: a,2 sin x 3 3 − =(3 sin x 2 sin x 3 tan x 2 + − )
Điều kiện: cos x 0≠
Phương trình đã cho tương đương với : 2 sin x.cos x 3cos x 3 − =(3 sin x 2 sin x 3 sin x 2 + − )
2 sin x.cos x 3cos x 3cos x.sin x 2 sin x
2
2 sin x sin x.cos x 1 3cos x sin x.cos x 1 0
sin x.cos x 1 2 sin x 3cos x 0
sin 2x 1 2 2 cos x 3cos x 0 2
2
2 cos x 3cos x 2 0
⇔ − − = ( do sin 2x 2 0, x− ≠ ∀ )
( )
cos x 2 VN
1 cos x
2
⇔ = −
π
⇔ = − ⇔ = ± + π ∈¢ ( thoả mãn điều kiện )
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 2 k2 ,k
3
π
= ± + π ∈¢
b.Giải phương trình: sin 3cos 2 0
4 2 sin
x+π x x
0 2 cos 3 sin 4 2 sin
x+π x x
⇔sin2x+cos2x−sinx−3cosx+2=0
⇔2sinxcosx−sinx+2cos2 x−3cosx+1=0⇔sinx(2cosx−1) (+ cosx−1)(2cosx−1) =0⇔
x= x+π=
Nghiệm phương trình: π 2π
3 k
x=± + , x=k2π , π 2π
2 k
x= +
0.5 0.5
0.5 1
c
2
5
− + − ÷+ = ⇔ − ÷+ − ÷+ =
⇔ + − ÷− − ÷= ⇔ − ÷= − − ÷=
⇔ − = − + ⇔ = − + ∈¢
0.5
2 a
b
Số hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển là:
k
+
Số hạng chứa x5 ứng với: 11 -2k = 7⇔k = 2
Vậy số hạng chứa x7trong khai triển trên là: T3 =22C x112 7 =220.x7
Gọi số có bốn chữ số khác nhau là: abcd
Khi đó mỗi số abcd được lập từ các chữ số trên là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử
Vậy, số các số có 4 chử số khác nhau được lập từ các chữ số trên là số chỉnh hợp chập 4 của 7
phần tử và bằng: A74 = 840.Vậy có thể lập được 840 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25
3 Gọi A là biến cố: “lấy được đúng 2 quả cầu màu đỏ”
Ω là không gian mẫu của phép thử trên Khi đó: 2 1
3 9
n A =C C = ; n ( ) Ω = C123 = 220 0.5
Trang 6Vậy xác suất của biến cố cần tìm là: ( ) ( ) 27
( ) 220
n A
P A
n
Ω
0.5
20 1
20 10.19 20.4 10.19.2 460
Vậy: S 20 = 460
0.5
0.25 0.25 5
Q
O P
N
M
C B
S
0.5
a Xác định giao tuyến (SBD và (SNP).
Gọi O BD= ∩NP (O chính là trung điểm BD), khi đó:
∈ ⊂
⇒ O là điểm chung thứ nhất của (SBD) và (SNP) (1)
Mặt khác: ( )
∈
∈
⇒ S là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SNP) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SO là giao tuyến của (SAC) và (SNP)
0.25 0.25 0.25 0.25 b
Chứng minh: SD // (MNP) Ta có:
//
NB PA
NB PA
=
suy ra BNPA là hình bình hành
Suy ra: NP//AB//CD Điều đó chứng tỏ NO là đường trung bình tam giác BCD.
Suy ra O là trung điểm BD.
M là trung điểm SB, O là trung điểm BD, do đó MO là đường trung bình của ∆SBD
SD MO
SD MNP
0.25
0.25 0.5
c Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
+ Xét giao tuyến của ba mặt phẳng: (ABCD), (MNP), (SAB).
Ta có:(ABCD)∩ (MNP) = NP, (ABCD)∩ (SAB) = AB
(MNP) ∩ (SAD) = ∆, ∆ qua M
Vì ba giao tuyến trên song song hoặc đồng quy và NP // AB nên ∆ // AB
+ Đặt: Q = ∆ ∩ SA
+Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNPQ
* Vì MQ // NP nên tứ giác MNPQ là hình thang
0.25
0.25
n∈¥ ,n 9≥
n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
−
−
Số hạng không chứa x tương ứng với 30 5k 0 k 6
6
− = ⇔ =
Số hạng không chứa x phải tìm là C 2 15 6 6 =320320