Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Trang 1Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN
* Bảng: B
* Lớp: 11
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ Câu 1: (4 điểm)
Tính tổng a1+a2+ +a99 biết
n
a
= + + + (n= 1, 2, ,99)
Câu 2: (4 điểm)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích S
Chứng minh rằng:
3 4
2 2
a
Câu 3: (4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2 2 2
3
x
Câu 4: (4 điểm)
Giải phương trình:
4 1 sin 2 41 sin 2 1
2 + x+ 2 − x =
Câu 5: (4 điểm)
Cho tứ diện OABC có OA = a; OB = b; OC = c; nBOC=α; COAn=β ; nAOB=γ Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng:
S
- HẾT -
(Gồm 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN
* Bảng: B
* Lớp: 11
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm)
Ta có: ( )
n
a
=
1
n n
+
= 1
1
+
−
Do đó: 1 1 2
2 2 3
………
98 98 99
98 99
99 99 100
99 100
1
10 10
Câu 2: (4 điểm)
Theo công thức Hêrông ta có: S2 = p(p−a)(p−b)(p−c) (1) (0.5đ)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm p-a, p-b, p-c ta có:
27 3
3 3
p c p b p a p c p b p
a
p− − − ≤⎢⎣⎡ − + − + − ⎥⎦⎤ = (2) (1.0đ)
Từ (1) và (2) suy ra ( )
3 12 3
3
2
p
Mặt khác ta có:
2 2 2
2 2 2 2
3
2 2 2
c b a a
c c b b a c b a
ca bc ab c b a c
b
a
+ +
= + + + + + + + +
≤
+ + + + +
= +
+
(1.0đ) (Gồm 03 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Do đó:
3 4
2 2
a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c (0.5đ)
Câu 3: (4 điểm)
Ta thấy:
2 2 2
3
x
⇔ x6 + z3 + (y2 + 5)3 = 3x2y2z + 15x2z (0.25đ)
⇔ x6 + z3 + (y2 + 5)3 = 3x2z(y2 + 5) (0.25đ)
Do x, y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
3
3
Nên đẳng thức xảy ra:
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
2
1 5
2
2 2
z x
y x
(0.5đ)
Từ (1) suy ra: x2 − y2 = 5 ⇔ (x − y)(x + y) = 5 (0.5đ)
Do x, y > 0
⎩
⎨
⎧
=
>
−
>
+
⇒
1 5 5
0
y x
y x
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
−
= +
⇒
2
3 1
5
y
x y
x
y
x
(1.0đ)
=> z = 9
Thử lại và kết luận phương trình có nghiệm duy nhất là: (3, 2, 9) (0.5đ)
Câu 4: (4 điểm)
Điều kiện:
1
1
2
Sin x
Sin x Sin x
⎨
⎪⎩
Với điều kiện trên, Đặt u=4 1
sin2
2 + x, v=4 1
sin2
2 − x
Ta có hệ phương trình:
1 1
u v
+ =
⎧
⎨
( 2) 0
u v
u v u v
+ =
⎧
Trang 4
⇒ sin2x=1 sin2 1
k m
Câu 5: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, ta chứng minh được:
cotA + cotB + cotC = 2 2 2
4
S
+ + (*) (1.0đ)
Mà AB2 = a2 + b2 – 2abcosγ; (0.5đ)
AC2 = a2 + c2 – 2accosβ; (0.5đ)
BC2 = b2 + c2 – 2bccosα; (0.5đ)
Thay vào (*) ta được
cot cot
2
S
2
S
⇔
S
Vậy
S
Chú ý: HDC chỉ là một trong các phương án, học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
-
HẾT -c
b a
γ
β α
C
B O
A