Gọi đồ thị của hàm số đã cho là C.. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2.. Tìm toạ độ đỉnh D với hoành độ của D là số dương.. 3
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - lỚP 12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y x= +3 2mx2−3x (1) và đường thẳng ( ) :∆ y=2mx−2
(với m là tham số).
1) Khi m=0 Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2
2) Tìm m để đường thẳng ( )∆ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ)
Câu 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình 2sin 3 2 2sin 2 3
4cos 4 cos
x x
π
2) Giải hệ phương trình
2
y x x x x x (với ;x y∈¡ )
Câu 3 (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có
AB AD CD,= < điểm B(1;2) , đường thẳng BD có phương trìnhy = 2 Biết rằng đường thẳng ( ) : 7d x y− −25 0= lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho
BM⊥BC và tia BN là tia phân giác của góc MBC Tìm toạ độ đỉnh D (với hoành độ của D là
số dương)
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A 1;2;1 , B 1; 2;4( ) ( − ) và mặt phẳng ( ) : 2P y z+ =0 Tìm toạ độ điểm C ( ) ∈ P sao cho tam giác ABC cân tại B và có diện tích
bằng 25
2 .
Câu 4 (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB 2a= Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng ϕ với sin 1
3
ϕ = Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo a
Câu 5 (3 điểm)
1) Tính tích phân 2 2 ( ) 3 3
4 1
ln + +1 +
2) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6
Câu 6 (2 điểm) Cho các số thực x y z , , thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )2 ( )
2
8 2
2
Họ và tên thí sinh :……… Chữ ký của Giám thị 1 : ………
Số báo danh : ……… Chữ ký của Giám thị 2 : ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT
1.1
(2,0) Khi m=0, hàm số là y x= −3 3x (C) Gọi ( 3 )
0; 0 3 0
M x x − x Tiếp tuyến (d) tại M có
phương trình: ( 2 ) ( ) 3
Khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2 ⇔ x0 = ⇔2 x0 = ±2 0,5 + Nếu x0 =2, phương trình (1) có dạng: y=9x−16 ( )d1 0,5 + Nếu x0 = −2, phương trình (1) có dạng: y=9x+16 ( )d2
Vậy có hai tiếp tuyến là (d ) và 1 (d ) thoả mãn yêu cầu.2 0,5
1.2
(2,0) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và (∆) là nghiệm phương trình:
2
2
1
(2 1) 2 0(2)
=
x
Vậy ( )∆ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt ⇔phương trình (2) có
hai nghiệm phân biệt
2
m
m
+ + >
+ + − ≠
Khi đó, ba giao điểm là A có hoành độ là 1 và B( ;2x1 mx1−2), C( ;2x2 mx2 −2),
trong đó x ;x là nghiệm phương trình (2) nên 1 2 x1+x2 = −2m 1, x x− 1 2 = −2 0,5 Tam giác OBC có diện tích 1BC
2
S = d Trong đó d = d(O; ) = 2 2
1+4m
BC =(x −x) +(2mx −2mx) =(x +x ) −4x x 4m +1
BC 2m 1 8 4 m 1
1
=
= ⇔ = + + ⇔ = −m
m Đối chiếu ĐK, Kết luận: m= −1 0,25
2.1
(2,5) Với điều kiện : cosx≠0, Phương trình đã cho tương đương :
3 cos 2 sin 2 3
4cos 4 cos
x
3 2cos 1 2sin cos 3
4cos 4 cos
3 cos sin 2cos 4
⇔ x+ x= x (vì cos x≠0)
0,5
6
⇔ − ÷=
π
Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là:
Trang 3(2,5) ĐKXĐ: x
; y
∈¡ ∈¡
2
2
2
+ −
2 2
⇔ =y x + +x (1) Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
⇔ + + + + = − + − +
Xét hàm số f t( )=t(1+ t2+2) với t∈¡ Ta có
2 2
2
2
t
Mặt khác, phương trình (*) có dạng ( 1) ( ) 1 1
2 + = − ⇔ + = − ⇔ = −
2
= −
x vào (1) ta tìm được y=1.Vậy hệ đã cho có nghiệm là
1 2 1
= −
=
x
3.1
(1,0) Kẻ BH
CD
⊥ ⇒ ABHD là hình vuông và
CBH MBA= ⇒ ∆CBH= ∆MBA⇒CB MB=
Mặt khác, BN là phân giác của góc vuông MBC ⇒CBN MBN 45· =· = 0⇒ ∆CBN
= ∆MBN
− −
Điểm D thuộc BD, nên D(x ;2) và BD = 4 Ta có 0 2 0
0
0
(x 1) 16
=
− = ⇔ = − 0,25
3.2
Gọi I là trung điểm AC, ta có 1IA.IB 25 IA.IB 25
2 = 4 ⇒ = 2 Mặt khác
IA +IB =AB ⇒IA +IB =25⇒ IA IB− =IA +IB −2IA.IB 0= ⇒IA IB=
C (P) ∈ ⇒ C(a;b; 2b) − Điều kiện để có điểm C là AB.BC 0uuur uuur= và BC =5 0,5
0.(a 1) 4(b 2) 3( 2b 4) 0 (a 1) (b 2) ( 2b 4) 25
Giải hệ được hai nghiệm (a ; b) là (6 ; -2) ; (-4 ; -2) 0,25 Vậy có hai điểm C thoả mãn yêu cầu có toạ độ là (6 ; -2 ; 4) , (-4 ; -2 ; 4) 0,25
A B
D C
H N
d M
Trang 4(3,0)
BC⊥AB; (SAB)⊥(ABCD)⇒BC⊥(SAB)⇒BC SA⊥
Mà SA SB⊥ ⇒ SA ⊥(SBC)
Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC)
SD
d SD.sin
3
⇒ = ϕ = Mặt khác :
AD //(SBC)⇒d(D,(SBC)) d(A,(SBC))=
SD
3
0,25
0,5
0,5
Do AD//BC ⇒AD SA⊥ Xét tam giác SAD
vuông tại A có AD = 2a và
Kẻ SH⊥AB tại H ⇒SH⊥(ABCD) và AB.SH SA.SB SH a 7
4
Vậy
3 S.ABCD
Ta có
3 SBCD S.ABCD
Mà d(C;(SBD)) 3VSCBD
dt(SBD)
Tam giác SBD có: SB a 14
2
= , SD 3SA 3a 2
2
BD 2a 2= ⇒BD =SB +SD ⇒ tam giác SBD vuông tại S
2
dt(SBD) SB.SD
Thay vào (1) có d(C;(SBD)) 2a
3
5.1
(2,0) Đưa về 2 ( ) 2 3 3
1
ln x 1
x
+
2
ln( 1)
1
dx
x
x
x
0,25
1
2
ln 2 ln ln 1 3ln 2
+
3
1 1
x
x
+
=∫ Đặt
2 3
3 3
2
1
2 1
x
x
+
S
A
C
D
= D B
H
Trang 5Đổi cận:
3
3
5 2
4
= ⇒ =
= ⇒ =
3
3
5 4 3 2
2
3
2
= − ∫
0,25
3
3
5 4
2
2
0,25
⇒ I= 3ln 2 3ln 3
2
2 2
8 4 4
5.2
(1,0) Số cần lập có dạng Xảy ra các trường hợp:a a a a a , trong đó luôn có mặt chữ số 6 1 2 2 4 5
Trường hợp 1: Nếu a1=6 Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số 0;1;2;3;4;5 cho
4 vị trí còn lại⇒ trường hợp này có 4
6
Trường hợp 2: Nếu a1≠6, có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6 Khi đó, có 5 cách
chọn a1∈{1;2;3;4;5} Sau khi chọn a và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 vị trí được 1
chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là A35 ⇒ trường hợp này có 4.5.A số.35 0,5 Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là A + 4.5.64 3
5
6.
(2,0) Từ giả thiết x2 + y2 + z2 = 1 (1) , ta có: ( )2 8
2
2
3
t
0≤ x y z+ + =x +y + +z 2(xy yz zx+ + ) 1 2(= + xy yz zx+ + )
+
Dấu “=” xảy ra
0
2 2
y
=
⇔
= − = ±
Do đó GTNN của P bằng GTNN của hàm 2 8
( )
3
t
= −
+ với t≥ −1. 0,25
Ta có
2
3 2
2 1 ( 4)
Hàm số ( )f t liên tục trên [− +∞ ⇒1; ) f t đồng biến trên ( ) [− +∞1; )
[ 1; )
min ( ) ( 1) 3
∈ − +∞
t
Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình, thì giám khảo
thống nhất chia điểm thành phần tương ứng.