Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số 1.Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng y = -x và cắt đồ thị hàm số 1 tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có d
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B)
Ngày thi : 15/3/2014
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,0điểm )
1
x y x
+
=
− (1) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1).Viết phương trình
đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng y = -x và cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 3
Bài 2:(2,5 điểm )
Giải phương trình 2sin2x+ 3 sin 2x+ =1 3( 3 sinx cos )+ x
Bài 3:(2,5 điểm )
Tính tích phân 2
2 0
π
−
=
− −
∫
Bài 4: ( 3,0 điểm )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3;2) , trực tâm H(1;0) và gốc tọa độ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh B ,C
Bài 5: ( 3,0 điểm )
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 - ( x + y + z) 4
3
≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
+ + +
Bài 6 : ( 3,0 điểm )
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng a và điểm M thuộc cạnh CC' sao cho CM = 2
3
a
.Mặt phẳng (α ) qua A,M và song song BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện đó
Bài 7 : ( 3,0 điểm )
Giải hệ phương trình
2 1
xy
x y
+ + =
+ + + + + + + + =
HẾT
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2Bài 1: +(∆): y = x + m
+ Phương trình hoành độ giao điểm : x2+(m-2)x-m-1 = 0
+ AB = 2 |x1 - x2| = 2 m2+8và d(I;(∆)) =| |
2
m
+ SIAB = 2 3 = 1| | 2 8
Bài 2:( 3 sinx cos )+ x 2−3( 3 sinx cos ) 0+ x = ⇒x =
π π
− +
2
−
Bài 4: + Viết phương trình AH cắt Đường tròn (O) tại H' = (O)∩AH H và H' đối xứng qua BC , Tìm được M
là trung điểm HH' Viết đường thẳng BC qua M và vuông góc AH B,C là giao điểm của BC và đường tròn (O) ( tâm O , BK: OA)
Bài 5 :+ (x + y + z )2 ≤3(x2+y2+z2)(1)
3
x +y + − + + ≤z x y z (2) Từ (1) và (2) ⇒x + y + z ≤ 4
1 x+1 y+1 z ≥3 x y z
+ + + + + + ≥
9
7.Do đó : P = 9/7 khi x = y = z =4/3
Bài 6: ( Tự giải nhé )+ Ta có : VAB1MD1BCD = 2VA.MCBB1
2 1
BCMB
= + =
Do đó : VAB1MD1A'B'C'D' = 2 3
3a
Bài 7:+ĐK : x + y > 0.x2 y2 2xy 1
x y
+ + =
+ , a = x + y và b = xy , a > 0 và a2 ≥4b
Ta có : a2 2b 2b 1
a
− + = ⇔ a3− −1 2 (b a− = ⇔1) 0 (a−1)(a2+ + −a 1 2 ) 0b = ⇔a = 1
⇔x + y = 1⇔y = 1- x vào (2) ,ta có :3 (2x + 9x2 + +3) 2(1 2 )( 1+ x + +x x2 +1)= 0
⇔−3 (2x + −( 3 )x 2+3) = (1 2 )( (1 2 )+ x + x 2+ +3 2)
+ Xét hàm số f(t) = t( t2+ +3 2)trên R mà : f'(t) = t2+ +3 2+
2
t
t + > 0 với mọi t f(t) đồng biến trên R , mà : f(-3x) = f(1+2x) ⇔x = -1/5 và y = 6/5
+ Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( -1/5;6/5)
M A'
B'
A
C D
B
D1
B1