Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 chọn lọc số 3

5 điểm Để tạo ra một hình lục giác từ một tờ giấy hình chữ nhật kích thước a, b a>b>0 ta có thể làm như sau: Gấp tờ giấy ấy dọc theo một đường chéo hình chữ nhật rồi cắt bỏ hai tam giác

UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán-Khối THPT

Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày thi: 29/12/2012

(họ tên và chữ kí)

SỐ PHÁCH

(do chủ tịch hội đồng chấm ghi)

Chú ý:

- Đề thi này có 06 trang với 10 bài, tổng 50 điểm;

- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này, những phần không yêu cầu trình bày lời giải thì điền kết quả vào ô trống tương ứng

- Nếu không có yêu cầu gì thêm, hãy tính chính xác đến 4 chữ số thập phân

- Các đoạn thẳng được đo theo cùng một đơn vị dài

Bài 1: (5 điểm)

a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 3cos3x2sinxcosx4sin3x0

b) Cho ( )f x là đa thức bậc 2011 thỏa mãn f n( ) 1,

n

 với n1, 2,3 , 2012 Tính (2013)f

2

Bài 2: (5 điểm)

( ) 4 1 và

f x  x  x  x đường thẳng d y:   3x 2 Tính gần đúng tọa độ giao điểm của d và đồ thị hàm số f(x)

b) Tìm gần đúng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )     x 1 x2 4x3

Bài 3.(5 điểm)

a  a  a   a   a  n  Lập quy trình tính a 15

b) Cho một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 7 viên bi trắng và 8 viên bi vàng, không có hai viên bi cùng mầu nào giống hệt nhau Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi Tìm gần đúng xác suất để số bi lấy ra không có đủ 3 mầu

Bài 4: (5 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường trung tuyến là

4,56( ), 5,52( ), 3, 25( )

m  cm m  cm m  cm Tìm gần đúng diện tích tam giác ABC

Bài 5: (5 điểm)

a) Tính gần đúng giá trị của a và b sao cho đường thẳng y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

2

1

y

x



 tại tiếp điểm có hoành độ làx 1 5

b) Tìm gần đúng độ dài của dây cung chung của hai đường tròn cho bởi các phương trình sau:

2 4 1 0 và 2 2 6 4 3 0

x y  x y  x  y  x y 

4

Bài 6 (5 điểm)

Để tạo ra một hình lục giác từ một tờ giấy hình chữ nhật kích thước a, b (a>b>0) ta có thể làm như sau: Gấp tờ giấy ấy dọc theo một đường chéo hình chữ nhật rồi cắt bỏ hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình thoi Lại tiếp tục gấp hình thoi ấy dọc theo đoạn thẳng nối hai trung điểm của một cặp cạnh đối rồi cũng cắt

bỏ đi hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình lục giác Tìm giá trị gần đúng của tỷ số b

a để lục giác nói

trên là một lục giác đều

Bài 7 (5 điểm)

a) Tìm chữ số thập phân thứ 20122013 sau dấu phẩy trong phép chia 10000:53

b) Tìm số các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số tự nhiên 2012220

Bài 8 (5 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB5,AD6 và AA '7 Có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

a) Tìm gần đúng thể tích của khối đa diện chiếm phần không gian nằm ngoài hình hộp và trong mặt cầu

b) Tìm gần đúng bán kính và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’

Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng diện tích hình nằm phía trong hình thang và ngoài các hình tròn (phần màu

đậm của hình dưới) biết độ dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2

6

Bài 10 (5 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB =12 3, BC = 6 7,CD = 7 5, BD = 9 6

và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD Tính gần đúng thể tích tứ diện ABCD

-Hết -

UBND TỈNH BẮC GIANG HDC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY

NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán-Khối THPT

Bài 1: (5 điểm)

a) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 3cos3x2sinxcosx4sin3x0

Phương trình trở thành

cosx0 không thỏa mãn

0,5đ

cosx0, pt trở thành

tan 1.142138769

x

1đ

Từ đó suy ra x

48 47 ' 46 '' 180

k



1đ

b) Cho f x( ) là đa thức bậc 2011 thỏa mãn f n( ) 1,

n

 với n1, 2,3 , 2012 Tính f(2013)

Xét đa thức

( ) ( ) 1

g x xf x 

Từ giả thiêt suy ra g(x) có bậc 2012 và có 2012

nghiệm là 1,2,3…,2012

Do đó

( ) ( 1)( 2) ( 2012)

g x a x x x

1đ

(0) 1

g   và g(0)a.2012!

Từ đó suy ra 1

2012!

a  1

2012!

1đ

Bài 2: (5 điểm)

a) Cho hàm số f x( )  x34x2 x 1 và đường thẳng :d y  3x 2 Tính gần đúng tọa độ giao điểm của d và đồ thị hàm số f(x)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

1

2.618033989

x

x







 



1.đ

(0.3820;0.8541) (2.6180;-5,8541)

1,5đ

8

b) Tìm gần đúnggiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )     x 1 x2 4x3

Ta có Điều kiện x[1;3]

2

2 '( ) 1 '( ) 0 2.707106781

4 3

x

 

1,5đ

(1) 0; (3) 2; (2.707106781) 2.414213562

GTNT của f(x)bằng 0

1đ

Bài 3.(5 điểm)

a  a  a   a   a  n  Lập quy trình tính a 15

b) Cho một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 7 viên bi trắng và 8 viên bi vàng, không có hai viên bi cùng mầu nào giống hệt nhau Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi Tìm gần đúng xác suất để số bi lấy ra không có đủ 3 mầu

a)

n:=3: A:=1: B:=2

1 1

:

4 3

C  B A

A:=B

B:=C

n:=n+1

Bấm phím = liên tiếp đến khi n=15

1,5đ

15 0.0193

b) Số khả năng có thể là C 215

1đ

S ố khả năng thuận lợi: C135 C145 C155 (C65C75C85)6209

0.3051

Bài 4: (5 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường trung tuyến là

4,56( ), 5,52( ), 3, 25( )

m  cm m  cm m  cm Tìm gần đúng diện tích tam giác ABC

2

2

2

27.23208889; 14.32968889; 40.87355556

c

a

b

m

m

m















1,5đ

cos 0.577884203

sin 0.81611877

A

A





1.5đ

1

sin 9.87558794 2

ABC

Bài 5: (5 điểm)

a) Tính gần đúng giá trị của a và b sao cho đường thẳng y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

2

1

y

x



 tại tiếp điểm có hoành độ làx 1 5

'

y



0,5đ

'(1 5) 0.60626398

0.6063

(1 5) (1 5) 1.209356513

1.9121

b) Tìm gần đúng độ dài của dây cung chung của hai đường tròn cho bởi các phương trình sau:

2 4 1 0 và 2 2 6 4 3 0

x y  x y  x  y  x y 

Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ

10 12 1 0



1đ

2

0

12

x y



 



0.5đ

Bài 6 (5 điểm)

Để tạo ra một hình lục giác từ một tờ giấy hình chữ nhật kích thước a, b (a>b) ta có thể làm như sau: Gấp tờ giấy ấy dọc theo một đường chéo hình chữ nhật rồi cắt bỏ hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình thoi Lại tiếp tục gấp hình thoi ấy dọc theo đoạn thẳng nối hai trung điểm của một cặp cạnh đối rồi cũng cắt bỏ đi hai tam giác ở hai bên, mở ra được hình lục giác Tìm giá trị gần đúng của tỷ số b

a để lục

giác nói trên là một lục giác đều

J

H

I G

E

F

C

D

Độ dài một đường chéo của hình thoi bằng độ dài đường

chéo của hình chữ nhật và bằng 2 2

1,5đ

10

Cạnh của hình thoi là:

2

c

a



Để lục giác tạo được là đều thì góc  0

60

Ta có

0

2

1 EF

1 2

2 tan 30

2 1 3

a

a

AC b

a







 

0.5774

b

a 

2,5đ

Bài 7 (5 điểm)

a) Tìm chữ số thập phân thứ 20122013 sau dấu phẩy trong phép chia 10000:53

b) Tìm số các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số tự nhiên 2012220

a) Tìm số dư của phép chia 10201220131.10000 : 53

2013

2012 12(mod 52) 2012 12(mod 52)

2012 3 52.q 15

1,5đ

Ta có

2013 52

10 1(mod 53)

10  10 (mod 53) 47(mod 53)



Ta có 47 0.88679

53

Chữ số cần tìm là:

8

1đ

b)

Số các chữ số là 2 20

log 2012 1

1,5đ

Bài 8 (5 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB5,AD6 và AA '7 Có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

a) Tìm gần đúng thể tích của khối đa diện chiếm phần không gian nằm ngoài hình hộp và trong mặt cầu

b) Tìm gần đúng bán kính và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’

a)

Bán kính mặt cầu: 1 110

2

3

4

5.6.7 3

V  R 

394,0705

1,5đ

1đ

b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’ là:

110

2

r 

1đ

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’D’ là:

2

4

S r

Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng diện tích hình nằm trong hình thang và ngoài hình tròn (phần màu đậm)

biết chiều dài hai đáy hình thang là 3m và 5m, diện tích hình thang bằng 20m2

Diện tích hình thang: 20m2

Diện tích phần cần tìm: S = Shình thang – 2(Squạt lớn + Squạt nhỏ) 1đ

7.4378cm2 1đ

Bài 10 (5 điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB =12 3, BC = 6 7,CD = 7 5, BD = 9 6

và chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) là trọng tâm của tam giác BCD Tính gần đúng thể tích tứ diện ABCD

Đặt a = AB =12 3; b = CD =7 5;

c = BD =9 6; d = BC = 6 7

Ta có nửa chu vi tam giác BCD:

p = (b + c + d)/2 và S = p(pb)(pc)(pd)

2 2 2

1

b d

 BG =

3

2

2 2 3

1

b d

 AG = AB2 BG2

Vậy V =

3

1

S.AG

1

1

1

1

-Hết -