Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A.. Cho hỡnh chúp S ABCD.. cú SA x= và tất cả cỏc cạnh cũn lại cú độ dài bằng a.. Chứng minh rằng đường thẳng BD vuụng gúc với
Trang 1SỞ GD - ĐT HềA BèNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2010-2011
Mụn: Toỏn.
Ngày thi: 23/12/2010
(Thời gian làm bài 180' không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (5 điểm)
1 Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số sau:
3 sin cos 2 7 sin 2
y= x− x− x+
2 Cho hàm số = −
−
1
x y
x (C) Lập phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến này cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại cỏc điểm A và B thỏa món OA = 4OB
Cõu 2 (6 điểm)
1 Giải phương trỡnh: 2sin (2 ) 2sin2 – tan
4
x−π = x x
2 Giải phương trỡnh: ( )2
1 2
2
3 Giải hệ phương trỡnh: + + + =
6
Cõu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tại A Gọi G là trọng tõm của tam giỏc đú, biết BC và BG lần lượt cú phương trỡnh là:
2 4 0
x − y − = ;7 x − 4 y − = 8 0,và đường thẳng CG đi qua điểm E( 4;1)−
Viết phương trỡnh đường cao AH
Cõu 4 (2 điểm) Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:
x2+2mx+ =1 2x−2
Cõu 5 (4 điểm)
Cho hỡnh chúp S ABCD. cú SA x= và tất cả cỏc cạnh cũn lại cú độ dài bằng a.
1 Chứng minh rằng đường thẳng BD vuụng gúc với mặt phẳng (SAC)
2 Tỡm x theo a để thể tớch của khối chúp S ABCD. bằng 3 2
6
a
Cõu 6 (1 điểm).
Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC biết: 2sin sin (1 cos ) 1A B − C =
−−−−−HẾT −−−−−
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
1
y= x− − x − x+
Đặt t=sinx điều kiện t ≤1
[−1;1]
y = t + − ≤ ∀ ∈ −t x
2
t= − ⇒ x= − ⇒ = − +x π k π
2
t= ⇒ x= ⇒ = +x π k π
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
2
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M x y( ; )0 0 cắt Ox tại A và Oy
tại B sao cho OA=4OB Do ∆OAB vuông tại O nên tan A 1
4
OB OA
= = ⇒ Hệ
số góc của d bằng 1
4 hoặc 1
4
−
Hệ số góc của d tại M là 0 2 0 2
0
0
3
2 5
2
= − ⇒ − =
⇔
Khi đó có hai tiếp tuyến của (C) thỏa mãn bài toán là:
x y
−
⇔
Cách 2: Gọi tiếp tuyến tại điểm M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C có dạng
0 0 2
1
x
−
−
− − (d)
(d) cắt Ox tại A cho y=0 tìm x suy ra 2
A x − x + (d) cắt Oy tại B cho x=0 tìm y suy ra
2
2 0
0;
B
x
Theo giả thiết OA=4OB suy ra tìm được 0
0
3 1
x x
=
= −
Từ đó ta có kết quả
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
1,0
Trang 32
(6đ)
1
ĐK:
2
x≠ +π kπ
Phơng trình đã cho tơng đơng với phương trỡnh
π
⇔ −(1 sin 2 ) osx sin2xsinx sinxx c = − ⇔ −(1 sin 2 )( osx+sinx) 0x c =
= +
=
4 2 tan 1
4
x
0,5
0,5
1,0
2 ĐK x>0 Phơng trình đã cho tơng đơng với
2
2
2
1 5
log
2 2 4
x x
x x
=
⇔ = − ⇔ =
KL:
0,5 0,5
1,0
3
Phơng trình thứ nhất đặt t= x y+ ≥0 ta được 2 2
6 0
3
t
t t
t
=
+ − = ⇔ = −
⇒ + = ⇔ = − thay vào phơng trình thứ hai ta được phương trỡnh:
1
1 21 2
x x
=
=
+ x= ⇒ =1 y 3
+ x=1+221⇒ =y 7−221
+ x=1−221⇒ =y 7+221
1,0
0,5
0,5
Câu
3
(2đ)
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ
B 0; 2
− − = = −
Kẻ EF song song với BC (F BG∈ ) Vỡ tam giỏc ABC cõn tại A nờn đường
cao AH là trung trực của EF
Phương trỡnh đường thẳng EF: 1 x 4( + −) 2 y 1( − = ⇔ −) 0 x 2y 6 0.+ =
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ
( )
F 4;5
1,0
Trang 4Tọa độ trung điểm I của EF: I 0;3 ( ) Phương trỡnh đường trung trực của EF:
2 x 0− +1 y 3− = ⇔0 2x y 3 0.+ − =
Câu
4
(2đ)
ĐK: x≥ 1
Phơng trình đã cho tơng đơng với
x + mx+ = x − +x
2
⇔ = − + Chia cả hai vế cho x> 0( vỡ x≥ 1)
1
m
⇔ ≥ −
KL:
0,5 1,0 0,5
Câu
5
(4đ)
Cỏch 1: Do B và D cách đều S,A,C nên BD⊥(SAC)
Cỏch 2:
Gọi O là tâm của đáy ABCD Ta cú BD⊥AC(tớnh chất của hỡnh thoi)
BD⊥SO (do ∆SBD cõn)
BD SAC
O
C
A
D B
S
Các tam giác ABD, BCD,SBD là các tam giác cân bằng nhau có đáy BD
chung nên OA=OC=OS Do đó ∆ASC vuông tại S
Ta có:
S ABCD S ABC
a x
V = V = SC SA SO= ax a − + = ax a −x
Theo giả thiết ta cú phương trỡnh:
3
3
x a a
ax a x
x a
=
1,0 0,5
0,5
1,0
1,0
Trang 56
(1đ)
2sin sin (1 cos ) 1A B − C =
[cos(A B) cos(A B) (1 cos ) 1] C [cos(A B) cosC](1 cos ) 1C
Do cos(A B− ) 1≤ ⇒cos(A B− ) cos+ C≤ +1 cosC
2
Vậy đẳng thức xảy ra
0 0
= =
0,5
0,5
Mọi lời giải đúng đều được xem xét và cho điểm tương ứng
−−−−−HẾT −−−−−