Đề thi thử đại học môn Toán lời giải số 48

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.. 1.0 điểm Cho khối chóp S.ABCDcó đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a.. Bốn đường cao của bốn mặt bê

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 48

Ngày 09 tháng 3 năm 2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I (2.0 điểm)

Cho hàm số: y x= 3−3x2+mx 1+ (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0=

2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Gọi ( )∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm I 1 11;

2 4

  đến đường thẳng ( )∆ .

Câu II (2.0 điểm)

1 Giải phương trình : 1 2(sinx cos x)

tanx cot 2x cot x 1

−

=

2 Giải bất phương trình : 2 2

x +91> x 2 x− +

Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân:

e

1

(x 2) ln x x

dx x(1 ln x)

+

∫

Câu IV (1.0 điểm)

Cho khối chóp S.ABCDcó đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng bốn lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b Tính thể tích của khối chóp theo a, b

Câu V (1.0 điểm)

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c 1+ + =

Chứng minh rằng: (a b b c c a) ( ) ( ) 3

18

PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B ).

A.Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1), N(4;-2); P(2;0), Q(1;2) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông

2 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(13;-1;0), N(12;0;4).Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( S) : x2 +y2+ −z2 2x 4y 6z 67 0− − − =

CâuVII.a (1điểm)

Giải phương trình: ( )log x 3 ( )log x 3 2x

3

B Theo chương trình nâng cao:

Câu VI.b (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm I 1; 1( − )là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình x 2y 12 0− + = Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông

2 Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(0;-1;2), N(-1;1;3).Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua M,

N và tạo với mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 0− − − = một góc nhỏ nhất

CâuVII.b (1 điểm)

Giải hệ phương trình

2

2log ( xy 2x y 2) log (x 2x 1) 6 log (y 5) log (x 4) = 1





HẾT

Hướng dẫn chấm toán khối A lần 2 năm 2011-2012

I

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x= 3−3x2+1 1,0

* Tập xác định: R

* Sự biến thiên:

xlim y xlim x 3x 1 ,lim yx

+ Bảng biến thiên:

y 3x 6x 3x(x 2), y 0

x 2

=



Bảng biến thiên:

x −∞ 0 2 +∞

y′ + 0 - 0 +

y 1 +∞

∞

− -3 0,25

+ Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

+ Hàm số đạt cực đại tại x 0, y= CÐ=y(0) 1=

đạt cực tiểu tại x 2, y= CT =y(2)= −3 0,25

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Ta có y′′=6x 6; y− ′′= ⇔ =0 x 1

y′′ đổi dấu khi x qua x = 1.

Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng

f(x)=x^3-3x^2+1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

y

0,25

2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu 1,0

2

y′ =3x −6x m+ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ =0 có hai nghiệm phân biệt

Chia đa thức y cho y′, ta được: y y x 1 2m 2 x m 1

′

=  − ÷ + − ÷ + +

Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm (x ; y , x ; y 1 1) ( 2 2)

Vì y (x ) 0; y (x ) 0′ 1 = ′ 2 = nên phương trình đường thẳng ( )∆ qua hai điểm cực đại, cực tiểu

là:

3

0,25

Ta thấy đường thẳng ( )∆ luôn đi qua điểm cố định A 1;2

2

− 

  Hệ số góc của đường thẳng IA là k 3

4

= Kẻ IH⊥ ∆( ) ta thấy d I;( ) IH IA 5

4

Đẳng thức xảy ra khi IA ( ) 2m 2 1 4 m 1

⊥ ∆ ⇔ − = − = − ⇔ = (TM)

Vậy max d I;( ) 5

4

∆ = khi m 1=

0,25

II

1

Giải phương trình : 1 2(sinx cos x)

t anx cot 2x cot x 1

−

=

Điều kiện : sinx.cosx sinx.cos x 0

cot x 1

≠



Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2 sinx cosx 1

sinx cos2x cos x sinx

−

Giải được

3

3 2

4

π

 = − + π



π

 = + π

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x 3 k2 ,(k Z)

4

π

Điều kiện x 2≥

Phương trình đã cho tương đương với: ( x2+91 10− )−( x 2 1− − −) (x2− >9) 0 0,25

2

2

(x 3)(x 3) 0

x 2 1

− +

(x 3)

x 2 1

(*)

0,25

x 2 1

− +

Tính tích phân:

e

1

(x 2) ln x x

dx x(1 ln x)

+

+

− +

dx dx x

x

x x

x

ln 2 ) ln 1 (

x x

x

e

ln

0,25

Ta có :∫e dx=e−

1

x x

x

e

1 (1 ln ) ln

Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J = dt

t

t

∫2 −

1

1

t)

1 1 (

2 1

IV

Gọi H là chân đường cao của chóp thì H phải cách đều các cạnh của đáy và trong trường

hợp này ta chứng minh được H nằm trong đáy

Suy ra hình thang cân ABCD có đường tròn nội tiếp tâm H là trung điểm đoạn MN với M,

N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD và MN = a

0,25

Đường tròn đó tiếp xúc với BC tại E thì HM HN HE a

2

= = = là bán kính đường tròn và

Đặt CN x= thì BM 4x, CE x, BE 4x= = =

Tam giác HBC vuông ở H nên

2

suy ra

2

ABCD

5a S

4

Vậy

S.ABCD

Chứng minh rằng: (a b b c c a) ( ) ( ) 3

18

Đặt F a; b;c( ) (= −a b b c c a) ( − ) ( − )

Ta cần chứng minh F a; b;c( ) 3 ( )*

18

≤

• Nếu hai trong ba số a, b, c bằng nhau thì F a; b;c( ) 0 3

18

• Nếu a, b, c đôi một khác nhau thì không mất tính tổng quát, giả sử

a max a; b;c= Lúc đó nếu b c> thì F a; b;c( ) 0 3

18

< < nên chỉ cần xét a c b> > Đặtx a b= + thìc 1 x= − Tacó:

F a; b;c = −a b c b a c− − ≤ +a b c a b c+ − =x 1 x 2x 1− − =h x 0,25

Khảo sát hàm số h x với ( ) 1 x 1

2< ≤ , ta được: h x( ) h 3 3 3

≤  ÷÷=

Từ đó suy ra BĐT ( )* Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 3 3; b 0; c 3 3

0,5

VIa

Giả sử đường thẳng AB có véc tơ pháp tuyến là tọa độ là (a; b) với a2+b2 ≠0

Suy ra véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC có tọa độ là ( -b;a)

Phương trình AB có dạng: a(x 2) b(y 1) 0− + − = ⇔ax by 2a b 0+ − − =

BC có dạng : b(x 4) a(y 2) 0− − + + = ⇔ − + +bx ay 4b 2a 0+ = 0,25

Do ABCD là hình vuông nên

d(P,AB) = d(Q,BC) 2b 2 3b 4a2 2 b 2a

= −

• Với b = −2a Phương trình các cạnh hình vuông là:

AB: x-2y = 0, BC: 2x y 6 0, CD : x 2y 2 0, AD : 2x y 4 0.+ − = − − = + − = 0,25

• Với b = a− Phương trình các cạnh hình vuông là:

AB : x y 1 0, BC : x y 2 0,CD : x y 2 0, AD : x y 3 0.− + + = − − + = − + + = − − + = 0,25

Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2;3) bán kính R = 9

Mặt phẳng (P) đi qua M(13;-1;0) nên có phương trình dạng :

A(x -13) + B(y + 1) + Cz = 0 với A2+B2+C2 ≠0 0,25

Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = B + 4C

Lúc này pt(P) : (B + 4C)x + By + Cz -12B – 52C = 0⇔

0,25

( P ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi : d(I,(P)) = 9

=



− − = ⇔  = −

0,25

Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được hai phương trình mặt phẳng thỏa mãn bài

toán: 1

2

(P ) : 2x 2y z 28 0 (P ) : 8x 4y z 100 0

Giải phương trình: ( )log x 3 ( )log x 3 2x

3

Điều kiện : x > 0

Ta có phương trinhg tương đương với: ( ) 3 ( ) 3

3

3

0,25

⇔ ÷÷ − ÷÷ =

Đặt

3

log x

10 1 t

3

=  ÷÷

  (t > 0) Phương trình trỏ thành:

2

1 2

t 3

t 3

=





⇔

=

Với t = 1 10

3

+ ta giải được x = 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3

0,25

VIIb

Lập phương trình các cạnh…

Gọi hình vuông đã cho là ABCD Giả sử pt cạnh AB là x−2y+ =12 0

Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB Suy ra H(−2;5) 0,25

,

( ) (2 )2

Toạ độ hai điểm ,A B là nghiệm của hệ:

( ) (2 )2



Giải hệ tìm được A( ) (4;8 ,B −8; 2) Suy ra C(− −2; 10) 0,25

AD x y+ − = ; BC: 2x y+ + =14 0; CD x: −2y− =18 0 0,25

Mặt phẳng (P) đi qua M nên có phương trình dạng :

A(x -0) + B(y + 1) + C(z-2) = 0 với A2+B2+C2 ≠0

Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A =2B + C

0,25

Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q),ta có:

B cos

α =

Nếu B = 0 thì α 0

90

0,25

Nếu B 0≠ , đặt m =C

cos

3

α nhỏ nhất khi cos 1

3

α = ⇔ m = -1 ⇔B = - C

Giải hệ phương trình

2

log ( 5) log ( 4) =1





Điều kiện:

2

( )

I

− − + + > − + > + > + >

 < − ≠ < + ≠

2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) 6 ( )

log ( 5) log ( 4) = 1

I





log ( 2) log (1 ) 2 0 (1) log ( 5) log ( 4) = 1 (2)



Đặt log2+y(1− =x) t thì (1) trở thành: 1 2

t

Với t =1 ta có: 1− = + ⇔ = − −x y 2 y x 1 (3) Thế vào (2) ta có:

2

0,25

0 ( ) 2

=



⇔  = −x x l suy ra y = 1

+ Kiểm tra thấy x= −2, y=1thoả mãn điều kiện trên.Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Mời các bạn ghé thăm diễn đàn ôn thi và trao đổi “Cà chua 95” nơi chúng mình

có thể trao đổi với nhau những kinh nghiệm học tập, cùng bàn luận những bài tập còn vướng mắc.

http://luyenthidaihoc.name.vn/forum

Cảm ơn bạn đã lắng nghe mình nói…^^~