Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32.. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm BC, mặt phẳng SAC tạo vớ
Trang 1Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 57
Ngày 3 tháng 4 năm 2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y x= −4 2m x2 2+m4+m ( )1 , m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= −1.
2 Tìm m để đồ thị hàm số ( )1 có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32
Câu II (2.0 điểm)
2
2 Giải hệ phương trình 823 32 63 ( , R)
x y
Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân
3
2
(1 ln )
e
e
=
−
Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a Hình chiếu
vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) một góc 60 0 Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) theo a, với I là trung điểm SB.
CâuV (1.0 điểm) Cho , x y là các số thực thỏa mãn 2 2 2 x− y+ =8 4 x+ −1 y
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=4x+2y−16.
PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2+y2−4x−8y− =5 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm Q( )5; 2 và cắt đường tròn (C) tại hai điểm M, N sao cho MN =5 2
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8), D(− −5; 4;0) và đỉnh
A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C.
Câu VII.a (1.0 điểm) Tìm môđun của số phức Z +1, biết ( )
( )2
1 3 (3 ) 1
Z
i i
=
− .
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : d x−3y− =6 0 và điểm N( )3; 4 Tìm tọa độ
điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích bằng15
2 .
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+ +z2 2x−4y− =4 0 và mặt phẳng
(P): x z+ − =3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1 1− ) vuông góc với mặt phẳng (P) và
tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu VII.b (1.0 điểm) Giải hệ phương trình
log log
3
6
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ 57
Trang 2Câu 1.(1 điểm) Khảo sát….
Khi m=-1 ta có y x= 4−2x2
• Tập xác định: D=R
• Sự biến thiên
- Chiều biến thiên , 4 3 4 4 ( 2 1), , 0 0
1
x
x
=
= − = − = ⇔ = ± Hàm số NB trên các khoảng (−∞ −; 1) và (0;1) ĐB trên các khoảng (-1;0) và (1:+∞)
- Cực trị: hàm số đạt cực trị tại x= ±1, yct=-1, đạt cực đại tại x=0, ycđ=0
- Giới hạn: limx→−∞y=limx→+∞y= +∞
- Bảng biến thiên:
x −∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 + y
+∞ 0 +∞
-1 -1
• Đồ thị:
Câu 1: 2.(1.0 điểm) , 3 2 ( 2 2) , ( 2 2) 0
=
Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi pt: ,
0
y = có ba nghiệm phân biệt ⇔ ≠m 0 (*)
Khi đó, gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và A(0; 4
m +m), B(m;m), C(-m;m)
Suy ra AB=AC= m2+m8 , BC=2|m| do đó tam giác ABC cân tai A
Ta có I(0;m) là trung điểm BC và 1 32 1 4.2 | | 2
ABC
S∆ = AI BC⇔ = m m ⇔ = ±m thỏa mãn (*)
Vậy m cần tìm là m= ±2
Câu 2: 1 (1.0 điểm) Giải phương trình
Điều kiện: cosx 0≠ (*)
Phương trình đã cho tương đương với: tanx+ 3.sinx=sinx.tanx
2 sinx 3.sin cosx x sin x
s inx=0 x kπ
• ⇔ = , thỏa mãn (*)
1
x π x π kπ
(không tm (*)) hoặc
7 2 6
x= π + kπ (tm (*)) Vậy,
6
x k= π x= π + kπ k Z∈
.
Câu 2: 2 (1.0 điểm) Giải phương trình…
Nhân phương trình (2) với -6 rồi cộng vế theo vế với phương trình (1), ta được
2
1
-1
-2
y
-1
-1
Trang 3Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
2
x
x
=
= −
Với x= ⇒ =2 y 1 Với 1
4 2
x= − ⇒ = −y Vậy, nghiệm của hệ là: (2;1), 1; 4
2
− −
Câu 3: (1,0 điểm) ( )
− +
3 2
1
1 ln
e e
x
2
3 2
e
Câu 4(1,0 điểm) Gọi H, J lần lượt là trung điểm của BC, AC,
Ta có SH (ABC)
⊥ ⇒ AC⊥SJ, suy ra góc ∠SJH =600 v à
0
2
2 ,
2
6 tan 60
2
B
S
C
A
H
J
I
E
3
S ABC
Gọi E là hình chiếu của H lên SJ, khi đó ta có HE SJ HE (SAC)
⊥
4
d I SAC =d H SAC =HE HJ= = a
Câu 5(1,0 điểm) Ta có 2 2 2 8 4 1 2 1 2 (1)
− + = + − ⇔ + = + + + ÷÷
Gọi S là tập giá trị của
2
y
x+ , khi đó m S∈ ⇔ ∈m Rsao cho hệ 2 ( )*
y
x
+ =
+ + + =
có nghiệm
Đặt
2
2
( , 0)
2 2
2 2
b
= −
= +
khi đó, (*)
2 2
2
3
3
m
a b
m
+ =
+ = +
+ =
Hệ (*) có nghiệm⇔hệ (**) có nghiệm (a;b) với a, b≥0
⇔phương trình 8X2-4mX+m2-4m-12=0 có 2 nghiệm không âm
Trang 42
2
− − ≤
− − ≥
2
y
P= x+ −
Suy ra: MaxP=8 10 khi 5 2 10; 3 2 10
2
x= + y= + minP=8 khi 1
14
x y
= −
=
8 4
x y
=
= −
Câu 6a: 1 (1.0 điểm)
Đường tròn (C) có tâm I(2;4) và bán kính R=5 Gọi đường thẳng ∆ đi qua Q(5;2) có phương trình A(x-5)+B(y-2)=0 với 2 2
0
A +B ≠ ,
do tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau nên 0
90
MIN
∠ = hay tam giác MIN vuông cân tại I, suy ra
( )
2 2
| A 2 5 B 4-2 | 5
− +
+
17B 24AB 7A 0
⇔ + + = (*)
Chọn B=1 khi đó (*) 2
1
7
A
A A
A
= −
= −
A= -1; B=1: phương trình đường thẳng ∆ là : -x+y+3=0
7
A= − ; B=1: phương trình đường thẳng ∆ là : 17x-7y-71=0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm: -x+y+3=0hoặc 17x-7y-71=0
Câu 6a: 2 (1.0 điểm) Ta có, trung điểm BD là I(-1;-2;4), BD=12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a;b;0),
do ABCD là hình vuông nên ta có,
2
2
=
− + + = + + +
⇔
+ + + + =
4 2
= −
⇔ + + − =
1 2
a b
=
⇔ =
hoặc
17 5 14 5
a b
=
=
Tọa độ điểm A tương ứng là A(1;2;0) và 17 14
5 5
A −
Vì I là trung điểm AC nên ta có tọa độ điểm A cần tìm tương ứng là: C(-3;-6;8), 27; 6;8
C− −
Câu 7a: Ta có ( ) ( ) ( )
2 2
5 4
Suy ra, Z + = − ⇒ + =1 1 5i Z 1 12+52 = 26
Câu 6b: a (1.0 điểm) Ta có ONuuur(3; 4)
,ON=5,
4
2
-2
5
d
O
N
M
đường thẳng ON có phương trình 4(x-3)-3(y-4)=0⇔4x-3y=0 doM∈ ⇒d M m(3 +6; )m
Trang 5Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
5
3
m
m
m
= −
=
Với m= − ⇒1 M(3; 1)−
7;
m= − ⇒M− −
Vậy các điểm M cần tìm là M(3;-1) và
13 7;
3
M− −
Câu 6b: 2 (1.0 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;0) và bán kính R=3 Mặt phăng (P) có VTPT nrP(1;0;1)
Mặt phẳng (Q) đi qua M có dạng A x( ) ( ) ( )− +3 B y− +1 C z+ =1 0 A B C2+ + ≠2 2 0 với VTPT là n A B CrQ( ; ; )
4
− + +
Mặt khác ( ) ( )Q ⊥ P ⇔n nr rQ. P = ⇔ + = ⇔ = −0 A C 0 C A
Chọn B=1, (**)⇔7A2−10A− = ⇔ =8 0 A 2 hoặc 4
7
A=−
Với A= ⇒ = −2 C 2: được phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x y+ −2z− =9 0
Với 4 4
A= − ⇒ =C
:được phương trình mặt phẳng (Q) là: 4x−7y−4z− =9 0 Vậy, phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x y+ −2z− =9 0 và 4x−7y−4z− =9 0
Câu 7b: (1,0 điểm) Điều kiện: x, y > 0 (*)
Khi đó, ta có hệ đã cho tương đương với
9 log
x y
=
=
3 3
x y
=
hoặc 3
3
x y
=
3
x y
=
3 9
x y
=
⇔ =
(tm (*)) Với
3 3
x y
=
9 3
x y
=
⇔ =
(tm(*)) Vậy nghiêm của hệ phương trình đã cho là: (3;9) và (9;3)./