Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 1.. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng ABC.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí si
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 54
Ngày 30 tháng 3 năm 2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3
3 2 (1)
y x= − +x
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Định m để phương trình: 4
2
3 2 log ( 1)
x − + =x m + có 4 nghiệm thực phân biệt
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: cos 2 sin 3 cos3 sin (1 tan )
2sin 2 1
x
−
2 Giải hệ phương trình:
2 2
2
( , )
7
x y y
y
− −
+ =
¡
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
2 4
2 4
sin 1
1 2cos
x
π
π
−
+
= +
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3,
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và · · 0
90
SAB SCB= = Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC).
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 4 = 0 và elip
9 4
E + = Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (d) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 3
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −5; 2), B(3; −1; −2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x – 6y + z + 18 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên (P) sao cho tích MA MBuuur uuur. nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 z i− = − +z z 2i và z2−( )z 2 =4
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), trực tâm H(14; –7), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 0), B(1; 2; −5) và đường thẳng (d) có
phương trình: 1 3
x− = y− = z
− Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: 3 3
log x=3 2 3log+ x+2
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu 1: 1, Cho hàm số 3
3 2 (1)
y x= − +x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
TXĐ: ¡
y = x − y = ⇔ x − = ⇔ = ±x y = y− =
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1 ; 1;) ( + ∞)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = 0 và hàm số đạt cực đại tại x = −1, y CĐ = 4
Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞
Bảng biến thiên:
y’’= 6x; y’’= 0 ⇔ x = 0, y(0) = 2 ⇒ đồ thị có điểm uốn I(0; 2) là tâm đối xứng và đi qua các điểm (−2; 0), (2; 4)
Đồ thị:
Câu 1: 2 Định m để phương trình: 4
2
3 2 log ( 1)
x − + =x m + có 4 nghiệm thực phân biệt Phương trình
đã cho là phương trình hoành độ giao điểm giữa 4
2 2
( ) :d y=log (m +1) và ( ') :C y= x3− +3x 2 , với (C’) được suy ra từ (C) như sau:
Từ đồ thị suy ra (d) cắt (C’) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
4
2
2
0 log (< m + <1) 4
2
1 m 1 2
0
m m
m
<
⇔ < < ⇔ ≠
Câu 2: 1 Giải phương trình: cos 2 sin 3 cos3 sin (1 tan )
2sin 2 1
x
−
Đk
1 sin 2
(*) 2 cos 0
x
x
Với đk (*) phương trình đã cho tương đương:
3sin 4sin 4cos 3cos
2sin 2 1 (sin cos )(2sin 2 1) sin (sin cos ) cos sin
x
−
−
sin
cos
x
x
⇔
4
cos sin 0 tan 1
So với đk (*) suy ra các họ nghiệm của pt là: , 2 ,
4
x= ± +π kπ x= +π k π k∈
¢
Câu 2: 2 Giải hệ phương trình:
2 2
( , )
x y y
+ =
1
x
y’
y
1
−
−∞
+ ∞
4
y
•
•
•
•
•
• 2
2 4
x
y
•
•
•
•
•
• 2
2 4
Trang 3Đk y > 7 Khi đó hệ đã cho tương đương với:
Đặt: u x= 2+ −x 3;v= y2−7,v>0 Khi đó hệ phương trình trở thành:
6
uv
+ =
= −
Giải các hệ phương trình:
,
+ − = − + − = −
, ta được nghiệm của hệ đã cho là:
Câu 3: Tính tích phân
2 4
2 4
sin 1
1 2cos
x
π
π
−
+
= +
∫
Xét:
0
0
∫ ∫ ∫ = I1 + I2
Đặt x= − ⇒t dx= −dt Đổi cận: ; 0 0
x= − ⇒ =π t π x= ⇒ =t
Khi đó:
( )
−
−
Suy ra I1 =0
2
1
cos
x
cos
x
x= − ⇒ = −π t x= ⇒ =π t 1
1
1 3
t
−
⇒ =
+
∫
Lại đặt t= 3 tanu⇒ =dt 3(1 tan+ 2u du) Đổi cận: 1 ; 1
t= − ⇒ = −u π t= ⇒ =u π
2
6 6
π π
π
−
−
9
I = +I I π
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3, khoảng cách từ
A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 3 và ·SAB SCB=· =900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa SB với mặt phẳng (ABC).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) Ta có:
(gt)
⊥ Tương tự HC⊥BC
Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông
+ Có: AH / /BC⊂(SBC)⇒ AH/ / (SBC)
[ ,( )] [ ,( )] 2
S
B
A
K
Trang 4+ Dựng HK ⊥SC tại K (1) Do BC HC BC (SHC) BC HK (2)
(1) và (2) suy ra HK ⊥(SBC) Từ đó [ ,(d H SBC)]=HK =a 2
Thể tích Khối chóp S.ABC được tính bởi:
3
a
+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc · SBH =450 (do ∆SHB vuông cân)
Câu 5: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Từ giả thiết ta có
P
Áp dung bất đằng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có:
3 3
3
+
Tương tự
3 3
3
+
3 3
3
+
Cộng vế theo vế các bất đẳng thứ trên ta được:
+ + +
Câu 6a: 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x + y – 4 = 0 và elip
9 4
Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (d) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng 3
∆ vuông góc với đường thẳng (d) nên có phương trình x – 3y + m = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (E):
4x2 + (x + m)2 = 36 ⇔ 5x2 + 2mx + m2 − 36 = 0 (1)
Đường thẳng ∆ cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) khi và chỉ khi phương trình (1) có hai
nghiệm x1, x2 phân biệt ⇔ ∆ = 720 – 16m2 > 0 ⇔ 3 5− < <m 3 5 (2)
AB= x −x + y −y = x −x = − m ( , )
10
m
d O ∆ =
⇒ 1 ( , ) 3
2
OAB
16 720 8100 0
2
m − m + = ⇔ = ±m (thỏa điều kiện (2))
Vậy phương trình đường thẳng ∆: 3 3 10 0
2
Câu 6a:2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; −5; 2), B(3; −1; −2) và đường thẳng (d) có
phương trình: 3 2 3
x+ = y− = z+
Tìm điểm M trên (d) sao cho tích MA MBuuur uuur. nhỏ nhất
Ta có trung điểm của AB là I(2; −3; 0)
( )( ) ( )( ) 2 2 2
MA MB= MI IA MI IB+ + = MI IA MI IA+ − =MI −IA =MI −
uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
Suy ra MA MBuuur uuur. nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I trên (d).
( 3 4 ; 2 ; 3 2 ) ( 5 4 ; 5 ; 3 2 )
M∈ ⇒d M − + t + − +t t ⇒uuurIM = − + t + − +t t
(d) có vectơ chỉ phương ur=(4; 1; 2)uuurIM ⊥ ⇔ur IM uuuur.r= ⇔ − +0 4( 5 4 ) 5t + + + − +t 2( 3 2 ) 0t = ⇔ =t 1
Trang 5Câu 7a: Tìm số phức z thỏa mãn 2 z i− = − +z z 2i và z2−( )z 2 =4
Giả sử z x yi x y= + ( , ∈¡ Từ giả thiết ta có:)
( 1) ( 1)
( 1) ( 1) 1
xy
2 2
3
0
4 0
4 1
4
x y
xy
x
=
3
3
4
2
2
x
y
= ±
⇔
=
4 2
Câu 6b: 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), trực tâm H(14; –7), đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình: 9x – 5y – 7 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
Gọi M là trung điểm AC Khi đó phương trình tham số của : 2 5 ( )
5 9
= − +
= − +
B, M ∈ BM ⇒ B(− +2 5 ; 5 9 ,b − + b M) (− +2 5 ; 5 9m − + m)
M là trung điểm BC ⇒ C(10m−6;18m−11)
Ta có:uuurAH =(12; 8),− uuurBC=(10m− −5b 4;18m− −9b 6),uuurBH =(16 5 ; 2 9 ),− b − − b
(10 8;18 12)
uuur
uuur uuurAH BC = ⇔0 12(10m− − −5b 4) 8(18m− − =9b 6) 0 ⇔ =b 2m (1) 0 (16 5 )(10 8) ( 2 9 )(18 12) 0
uuur uuur
(2) Thế (1) vào (2), ta được :106 2 105 26 0 1; 26
m − m+ = ⇔ =m m=
Với 1, 1
2
m= b= ta được B(3;4), C(-1;-2) Với 26, 52
53 53
m= b= ta được 154 203; , 58; 115
Câu 6b: 2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; 0), B(1; 2; −5) và đường thẳng (d) có
phương trình: 1 3
x− = y− = z
− Tìm điểm M trên (d) sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất
M∈ (d) nên M(1 + 2t; 3 + 2t; −t) MA= (2 2 )+ t 2+ +(1 2 )t 2+ =t2 9t2+12t+ =5 (3t+2)2+1
MB= 4t2+ +(1 2 )t 2 + − +( t 5)2 = 9t2− +6t 26= (3 1)t− 2+25
Trong mpOxy xét các vectơ ur=(3t+2; 1),vr= − +( 3 1; 5)t
Có: |u vr r+ =| 3 5 ; | |ur = (3t+2)2+1; | |vr= − +( 3 1)t 2+25
Ta luôn có bất đẳng thức đúng: |u vr r+ ≤| | | | |ur + vr ⇔3 5≤ (3t+2)2+ + − +1 ( 3 1)t 2+25 hay
3 5
MA MB+ ≥ Đẳng thức chỉ xảy ra khi urvà vr cùng hướng 3 2 1 1
t
t t
+
− +
Vậy (MA MB+ )min =3 5 đạt được khi 0; 2; 1
2
Câu 7b: Giải phương trình: 3 3
log x=3 2 3log+ x+2
Với điều kiện x > 0, ta đặt u=log2x và v=3 2 3+ u ⇒ − =v3 2 3u
Ta có hệ:
3
3
2 3
2 3
− =
− =
Do
2
u + + + =uv v u+ v + v + > ∀u v∈
3
3
1
2 3
(*)
2
u v
⇔ − = ⇔ − − = ⇔ = =
2
u= − ⇒ x= − ⇔ =x Với u= ⇒2 log2 x= ⇔ =2 x 4