Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Mặt bên ACC’A’ hợp với đáy một góc α.. Tính theo a và α th
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 109
Ngày 21 tháng 6năm 2013
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y=2x3−3x2+1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : x(2x2−3 x)− =m 0
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: os3 os2 2sin 2
sinx cos
x x
2 Giải bất phương trình: x+ −2 5 2− x< 3−x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
2 1
(1 ) ln
e x x
dx x
+
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
Mặt bên ACC’A’ hợp với đáy một góc α Tính theo a và α thể tích của khối lăng trụ
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn x + y =1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( 2 ) ( 2 )
2 2
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 1 = 0, d2 : 2x + y + 1 = 0
và điểm I(-2 ; 4) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua I và cắt d1, d2
lần lượt tại hai điểm A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng
− Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d
Câu VII.a (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức: 2 k11 3 k12 k13 k 22 k33
n n n n n
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3), trọng tâm G(4; -2)
Biết đường trung trực của AB là d: 3x + 2y – 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho hai điểm A(1; 2; 3), B(-1; 2; -3)
và đường thẳng ∆: 1 2 1
Tìm trên ∆ điểm M sao cho: MA MBuuuv+uuuv đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
x x y y
+
− =
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…… ……….; Số báo danh………
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 109
Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞.
2
1
x y
x
=
= ⇔ = BBT: Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞;0 , 1;) ( +∞)và NB trên khoảng ( )0;1 Hàm số đạt CĐ tại
0, CD 1
x= y = và đạt CT tại x=1,y CT =0
Đồ thị: y = (x-1)2(2x-1) suy ra đồ thị cắt Ox tại ( 1
2
− ;0) Đồ thị đối xứng qua I 1 1;
2 2
x x − x − = ⇔m x − x + = +m
Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của 2 đồ thị y=2 x3−3x2+1 (**) và y = m + 1
Dựa vào đồ thị câu trên ta suy ra đồ thị (**)
Kết luân: m > 0 pt có 2 nghiệm m = 0 pt có 3 nghiệm - 1 < m < 0 pt có 4 nghiệm
m = - 1 pt có 2 nghiệm m < -1 pt vô nghiệm
Pt ⇔ −(1 sin2 x) (cosx− =1) 2 1 sinx sinx( + ) ( +cosx)
x
x
= −
2
k Z
= − +
= +
2
x
− ≤ ≤
Bpt ⇔ x+ <2 5 2− x+ 3− ⇔x (5 2− x) (3−x) >2x−3 (1)
2
x
− ≤ < thì (1) đúng (a)
• Với : 3 5
2
⇔ − − < ⇔ − < <
Đối chiếu với đ/k ta được 3 2
2≤ <x (b) Từ (a) và (b) ta có nghiệm bpt là : 2− ≤ <x 2
Câu 3: Ta có: I = ( 2)
ln
e x x e x e
+
2
ln (ln )
1
ln
e x x e e x x x e
2 1 4
e + Vậy: I = 2 3
4
mp (AA’B’B) ⊥ mp(ABC) nên A’H ⊥ (ABC) AH ⊥AC suy ra AA’ ⊥AC ⇒ ·'
Ta có h = A’H = AA’sinα =a sin ,α 1 1 2
ABC
2a α (đvtt)
P
,
Trang 3Mặt khác ta có 1 = x + y 2 xy≥ Từ đó suy ra t 0;1
4
∈ Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên suy ra :
GTNN của P = 1 xẩy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x =1 , y = 0
GTLN của P = 9/8 xẩy ra khi x = y = 1/2
6 2
A B I
A B I
y
+
=
=
Do đó A (2;-3) , B(-6;11).Suy ra đt (∆) có véc tơ pháp tuyến nr( )7; 4 Pt AB là : 7x + 4y -2 = 0
Câu 6a: 2, Đt d có véc tơ chỉ phương là (2; 1; 4)ur −
Xét B ∈ ⇒d B(− +3 2 ;1 ; 1 4t − − +t t)⇒uuurAB(1 2 ;3+ t − − +t; 5 4t) AB ⊥ d ⇔u ABr uuur. = ⇔ =0 t 1
Do đó B(-1;0;3) và uuurAB(3; 2; 1− ) PT ∆ là 4 2 4
−
n n n n n n n
Suy ra c =-7 Vậy pt AB : 2x – 3y – 7 = 0
Gọi H là giao điểm của AB và d suy ra tọa độ H là nghiệm hệ 2 3 7 0 (2; 1
H
+ − =
H là trung điểm AB suy ra B( 5;1) G là trọng tâm tam giác ABC suy ra 3
3
A B C G
A B C G
x
y
=
Suy ra C(8 ;-4)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ∆ Gọi (P) là mặt phẳng qua I và (P) ⊥ ∆ nên (P) có véc tơ pháp tuyến là (1;1;1)nr , ngoài ra (P) đi qua I (0 ;2 ;0) nên có pt : x + y + z - 2 = 0
M là hình chiếu của I trên ∆ suy ra tọa độ của M thỏa mãn hệ :
1
1 2
2 1
1
2 0
x
y
z
x y z
= +
= +
+ + − =
Vậy M(1 ;2 ;-1)
3 y ta có pt : (3 )x y− 2 +3x y− − =2 0 Đặt 3x y 0
t
− = > ta có pt t2+ − = ⇔ =t 2 0 t 1;(t= −2loai)
t =1 suy ra x = y thay vào pt (2), ta có pt : 2
log x−2log x− =8 0
Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm :
1 9 1 9
x y
=
=
và 81
81
x y
=
=