Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab bc ca= + + PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc phần B A.. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu VIa 2,0 điểm 1.. THEO
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ
Ngày tháng Năm 2013 PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
− có đồ thị (C)
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
2, Dựa vào đồ thị (C) của hàm số trên hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 4 1
m x
−
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: 2 2 2 3
x+ π −x+ π +x= x+π x−
2, Giải hệ phương trình 3 2 ( 2 ) 2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân :
2
6
4
6
π
=
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB BC CD a= = = Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 3
2
a
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2
+ + + Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P ab bc ca= + +
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VIa (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy; cho tam giác ABC trọng tâm 7;0
3
G
trực tâm H( )3;0 và trung điểm của cạnh BC là điểmM(2; 1− ) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt cầu( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x− + y− + −z = , hai điểm (0, 2, 1)
M − − vàN(1,0, 3− ) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M, N và cắt mặt cầu (S) tại duy nhất một điểm
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn đẳng thức
3
2
1
i
z i z
i
+ = + ÷÷
Hãy tính giá trị của biểu
thức A= +z 2iz
B THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy; cho tam giác ABC có phương trình
đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A, trung tuyến kẻ từ đỉnh B và đường cao kẻ từ đỉnh C lần lượt có phương trình là:x y− − =1 0 ,y− =1 0 , 4x y+ − =11 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C?
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x− + y− + −z = và đường thẳng ( ): 3 3 2
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất
Câu VIIb (1,0 điểm) Cho các số phứcz z z thỏa mãn các điều kiện 1, ,2 3 z1 = z2 = z3 =1 và
z + + =z z Chứng minh rằng z z1 2+z z2 3+z z3 1=0
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ Bài 1 1, (1,0 điểm) Tập xác định D=¡ \ 1{ }
Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: ( )2
2 '
1
y x
−
=
− , ' 0y < với mọi x D∈ suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞;1 , 1;) ( + ∞) +) Cực trị: hàm số không có cực trị
+) Giới hạn:
1 1
1 1
x y
x
→±∞ →±∞
+
− đường thẳng
1
y= là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim , lim
x + y x − y
→ = +∞ → = −∞ ⇒ đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
c Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (−1;0) và cắt trục tung tại điểm (0; 1− ) Đồ thị nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng
Bài 1: 2 (1,0 điểm)Điều kiện 1
0
x m
≠
>
log 4 1
m x
−
Ta có
1
1
1 1
1 1
x
khi x
x x
khi x x
+
+ = −+
−
suy ra đồ thị hàm số y= x x+11
− (C') gồm hai phần:
Phần 1: là phần đồ thị (C) nằm bên phải đường thẳng x=1
Phần 2: là phần đối xứng qua trục hoành với phần đồ thị (C) nằm bên trái đường thẳng x=1 Đồ thị như hình vẽ
Số nghiệm của phương trình ban đầu bằng số nghiệm của phương trình (1) hay bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C') và đường thẳng y=m Khi đó ta được:
+) Nếu log2m≤ − ⇔ < ≤1 0 m 0,5 thì phương trình (1) vô nghiệm
+) Nếu − <1 log2m≤ ⇔1 0,5< ≤m 2 thì phương trình (1) có đúng một nghiệm
+) Nếu log2m> ⇔ >1 m 2 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
Kết luận
x+ π −x+ π +x= x+π x−
3
2
2
π
3 3sin 2x 3 2cos x 1
3 sin 2x cos 2x 3
k
¢
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
Trang 3Bài 2: 2 (1,0 điểm) Điều kiện:
2 2
y y
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đường
2
(1)
Trong đó f t( ) = −t3 3t Xét hàm số f t( ) = −t3 3t , t∈ −[ 1;1] ta có f t'( ) =3t2− ≤ ∀ ∈ −3 0, t [ 1;1] suy ra hàm số f t đồng biến trên ( ) [−1;1]
Mặt khác do điều kiện của x,y ta có 2 [ ]
x− −y ∈ − nên hệ (1) tương đương với
2
1
1 3
3
4 4
x
y x
x
Vậy hệ đã cho
Bài 3(1,0 điểm) Ta có
3 sin 2 cos 2 2
2 3 sin cos cos 1
6
2
3
x x
( )
2
6
x
π
π
Bài 4(1,0 điểm)
K
H
D
C B
A
S
Gọi H là giao điểm của AC và BD Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng SD Do ABCD là nửa lục giác đều nên AB vuông góc với BD, kết hợp với AB vuông góc với SH suy ra
AB⊥ SBD ⇒AB⊥BK⇒ BK là đoạn vuông góc chung của AB và SD suy ra BK= 3
2
a
Trang 4Do BC//AD suy ra 1 2 2 3
2
SBD
a
S =SH BD BK SD= ⇒SH a = SH +HB
Ta có
2 0
ABCD ABD BCD
a
Vậy
ABCD ABCD
Tương tự như trên ta được 1 1 2 1 1
b
c
Nhân từng vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (18 ) (1 ) 8
abc
abc
+ + + + + + Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho ba số dương ta
P ab bc ca= + + ≥ ab bc ca = abc ≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 12
Bài 6a: 1 (1,0 điểm)Do G là trọng tâm nên ( )
2 2
A
y
uuur uuuur
Do H là trực tâm nên AH ⊥BC⇒BC qua M và có vector pháp tuyến uuurAH = −2 0;1( ) ⇒BC y: + =1 0
Do B nằm trên BC nên B t( ; 1− ) , kết hợp với M là trung điểm của BC nên theo công thức trung điểm ta được C(4− −t; 1)
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ACuuur uuur = ⇔ −0 (3 t) (4− − + +t 3) (0 1) (− − =1 2) 0
4 0
4
t
t
=
+) t = ⇒0 B(0; 1 ,− ) (C 4; 1− )
+) t = ⇒4 B(4; 1 ,− ) (C 0; 1− ) Vậy tọa độ
Bài 6a: 2 (1,0 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và bán kínhR=3
Giả sử (P) có vector pháp tuyển là nuurP =(a b c a, , ,) 2+ + ≠b2 c2 0 Do (P) đi qua điểm M nên phương trình ( )P ax b y: + ( + +2) (c z+ =1) 0 , mặt khác (P) đi qua điểm N suy ra a+2b−2c= ⇒ =0 a 2c−2b (P) cắt (S) tại đúng một điểm khi và chỉ khi (P) tiếp xúc với (S) ⇔d I P( ;( ) )=R
2 2
2b c; 22b 29c
+) Nếu 2b c− =0 , chọn b=1,c= ⇒ = ⇒2 a 2 ( )P : 2x y+ +2z+ =4 0
+) Nếu 22b=29c, chọn b=29,c=22⇒ = − ⇒a 14 ( )P : 14− x+29y+22z+80 0=
Vậy phương trình
i
Trang 5Bài 7a: (1,0 điểm) Đặt z a bi a b= + ; , ∈¡ Do đó
2
2z i z+ = + ⇔2 2i 2a+2bi ai bi+ − = + ⇔2 2i 2a b+ + +a 2b i= +2 2i
a b
+ =
Do đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
A= +z i z = + i+ i − i i = + i =
Bài 6b(1,0 điểm) Gọi M là trung điểm của AC, D là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A, H là chân đường cao kẻ từ đỉnh C Do A nằm trên AD và M nằm trên BM nên ta có thể giả sử A a a( , −1 ,) M b( ),1 , kết hợp với M là trung điểm của AC ta đượcC b a(2 − ;3−a) Do C thuộc vào CH nên ta có:
4 2b a− + − − = ⇔3 a 11 0 5a−8b= −8 (1)
Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD suy ra N nằm trên đường thẳng AB, gọi K là giao điểm của MN và
AD Ta có MN ⊥AD⇒nuuur uuurMN =u AD =( )1,1 ⇒MN x y b: + − − =1 0
Do K là giao điểm của MN và AD nên tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:
2
;
2
b x
N
y
+
=
+ − − =
, kết hợp K là trung điểm của MN suy ra 2 2 (2; 1)
Do AN ⊥CH ⇔uuur uuurAN u CH = ⇔0 1 2( − −a) (4 b a− = ⇔) 0 3a−4b= −2 (2)
Từ (1) và (2) ta được 5 8 8 4 ( ) (4;3 , 3; 1)
AB CH⊥ ⇒nuuur uuurAB =u CH = −(1; 4)
nghiệm của hệ: 4 8 0 4 ( 4;1)
B
Bài 6b(1,0 điểm) 2 (1,0 điểm) (S) có tâm I(1,1,1), bán kính R=3 Gọi K là hình chiếu của I lên (P), H là hình chiếu của I lên (d) và r là bán kính đường tròn là giao của (P) với (S) Khi đó ta có
r= R −IK ≥ R −IH
Dấu bằng xảy ra khi K ≡H , từ đó suy ra để (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì (P) phải vuông góc với IH
Phương trình tham số của (d) là ( )
3
2 2
= +
= +
Do IH vuông góc với (d) nên ta có
IH u = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇒t t t t t H
uuuruur
Do (P) vuông góc IH nên (P) nhận IHuuur=(1,1, 1− ) và đi qua H(2, 2,0) có phương trình là:
( ) (P :1 x− +2) 1.(y− −2) (1 z− = ⇔ + − − =0) 0 x y z 4 0 Vậy phương trình
Bài 7b(1,0 điểm) Ta có z z1 1 =1, z z2 2 =1, z z3 3 =1
Từ đó suy ra 1 2 2 3 3 1
1 1 1 1 1 1
z z z z z z
0
z z z z z z
