PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7,0 điểm.. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Trên mp P cho đường tròn T đường kính AB bằng 2R.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 5
Ngày 12 thang 8 năm 2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm).
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− (C)
1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:
2 2 2
y x y
x x y y m
Câu II (2,0 điểm).
1 Giải phương trình: 2cos 3 cos + 3(1 s in 2 ) = 2 3 cos (22 )
4
2 Giải phương trình: + = 2x − 5x − 1
Câu III (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình: 2
x − +x m x − x+ + ≤
nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 0; 1 + 3.
Câu IV (1,0 điểm) Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại
K C là một điểm nằm trên đường tròn (T) sao cho · ,(0 )
2
BAC=α < <α π
SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và α
Câu V (1,0 điểm) Cho các số dương x y z, , thoả mãn x y z+ + =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
x y y z z x
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B)
A.Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:x−2y− =13 0 và 13x−6y− =9 0 Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x−4)2+y2 =25 và M(1; - 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3
B.Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb (2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đỉnh A thuộc đường thẳng d: x y+ + =2 0, phương trình đường thẳng DM: x−3y− =6 0và đỉnh C(3; - 3) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, D biết D có hoành độ âm
2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương trình chính tắc là:
2 2
1
x y
+ = và hai điểm A(4;-3), B(- 4; 3) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất
Câu VIIb (1,0 điểm) Tính tổng S C C= 20 120 11+C C120 1210+ + C C20 1210 1 +C C1120 120
……….Hết…………
Trang 2ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 4 Ngày 10 tháng 8 năm 2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x= −4 2mx2+2m2−4 (C m) (m là tham số thực)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1
2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C m) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: cos2x+ =5 2(2 cos )(sin- x x- cos )x
2 Giải bất phương trình: 2− ≤x x− x−1
Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 9
9 0
y x y x
y x y
− + =
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC' là hình chóp tam giác đều, AC a= ,
A B a Tính theo a thể tích của khối chóp A BB C C' ' '
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực a b c, , chứng minh:
2 2 2 2 2 2 3 2
2
a + - b + b + - c + c + - a ³
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm (2; 3) A − , (3; 2)B − Tam giác
ABC có diện tích bằng 3
2, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng ( d ) : 3 x y− − =8 0 Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị n nguyên dương thỏa mãn:
Câu VIII.a (1,0 điểm) Tính giới hạn: 3 3 2
2 1
lim
1
x
x x L
x
®
=
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
x +y − x+ y− = và đường thẳng (∆): 4x+2y− =11 0 Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết
tiếp tuyến tạo với (∆) một góc bằng 45o
Câu VII.b (1,0 điểm) Tính tổng: 0 1 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011 2011
S = C + C + C + + C +C
Câu VIII.b (1,0 điểm) Tính giới hạn: 3
0
lim sin 2012
→
+ − −
=
x
I
x .
- Hết
Trang 3-HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN SỐ 4
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
I
(2,0)
Với m 1 = ⇒ =y x4−2x2−2, TXĐ: D=¡
3
y = x − x Cho y’ 0= ta được: x 0= hoặc x= ±1
0,25
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞);
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và ( )0;1
- Hàm số đạt cực đại tại x=0,y cd = −2 Hàm số đạt cực tiểu tại x= ±1,y ct = −3
- Giới hạn: xlim y→−∞ = +∞; lim yx→+∞ = +∞.
0,25
BBT:
x −∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 + y
-0,25
Đồ thị
- Đồ thị cắt Ox tại hai điểm ( 1± + 3;0)
cắt Oy tại (0; -2)
- Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
0,25
y = x − mx 2
x 0
y ' 0
=
- Đồ thị hàm số có ba cực trị ⇔ >m 0 (*)
Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: A(0; 2m2−4), B m m( ; 2−4), C(− m m; 2−4) 0,25
- Ta thấy B,C đối xứng nhau qua trục Oy và A Oy∈ nên tam giác ABC cân tại A
Phương trình cạnh BC: 2
4 0
y m− + = Gọi h là độ dài đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC, ta có:
h d A BC= ( , )=m2 1
2
ABC
S∆ h BC
0,25
2
4 m 2x
-3
4
2
-2
-4
y
x O
Trang 4(2,0)
(cos – sin ) 1 (cos – sin ) 5 ( )
-ê
2 2
p p
p p
é
ê = +
ê
ê = +
ê
¢
Vậy PT cóhai họ nghiệm: 2 ; 2 ,
2
x=p+k p x= +p k p kÎ ¢
0,25
Đk: 1≤ ≤x 2
2 2
2
9 5 1
x x
≥
⇔
≤
0,25
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là {1} [ ;2]9
5
III
(1,0)
9 0
x y x y
y x y
⇔
− + =
Đặt:
2
2 2 0
2
a b
a x y x
b x y
b a
−
0,25
Hệ (*) trở thành 2
(1) (2)
2
b a
b a a
Thế (1) vào (2) được: a3+2a2−9a− = ⇔ +18 0 (a 2)(a2− = ⇔ =9) 0 a 3
0,25
3
=
= ⇒ = ⇒ = −
x
y Vậy nghiệm của hệ là:(x; y) (= 6; 3− ) 0,25
Trang 5
Gọi E là trung điểm của BC, H là tâm của tam giác đều ABC ⇒A 'H⊥mp(ABC)
2 2 2 6
3
a
A H A A AH
' ' '
'
ABC ABC A B C ABC
3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
'
⇒V A BB CC =V ABC A B C −V A ABC = A H S ABC = V ABC A B C = a (đvtt) 0,25
V
2
a + - b ³ a+ - b Dấu “ = ” ⇔ = −a 1 b
2 2 2
2
b + - c ³ b+ - c Dấu “ = ” ⇔ = −b 1 c
2 2 2
2
c + - a ³ c+ - a Dấu “ = ” ⇔ = −c 1 a
0,25
Cộng vế với vế ta được
2 (1 )2 2 (1 )2 2 (1 )2
a + - b + b + - c + c + - a ³
-0,25
Dấu “=” ⇔ + −(a 1 b)(b 1 c) 0; (a 1 b)(c 1 a) 0;(c 1 a)(b 1 c) 0.+ − ≥ + − + − ≥ + − + − ≥
0,25
2
Chương trình chuẩn VI.a
(1,0)
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 1,0
Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 = 0; AB= 2 ⇒ d(C; AB) = 5 2
2
ABC
AB
D
2(2)
a b
a b
a b
é - = ê
Trang 6Trọng tâm G 5 5
;
a b
Từ (1), (3) ⇒ C(–2;– 10) ⇒ r = 3
S
p = + +
Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ 3
2 2 5
S r p
r =
3
2 2 5
r =
0,25
1 + 3 2 + 7 3 + + (2n− 1) n = 3 2n− 2n− 6480
Xét khai triển nhị thức : (1 + )n = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + + n. n
Với x = 2 ta có: 3n = 0 + 2 1 + 4 2 + 8 3 + + 2n n
Với x = 1 ta có: 2n = 0 + 1 + 2 + 3 + + n
C C C C C (2) 0,25 Lấy (1) – (2) ta được: 1 + 3 2 + 7 3 + + (2n− 1) n= − 3n 2n
PT (*) ⇔ 3n− 2n = 3 2n− 2n− 6480 ⇔ 3 2n− − 3n 6480 0 = Û 3n= 81 ⇔ =n 4(t/m) 0,25
1
x
L
®
2
1
8
x x
L
3
1
L
x
lim
12
x
®
0,25
Vậy L 1 3 11
Chương trình nâng cao
Theo bài (C) có tâmI 1; 1( − ), bán kính R= 10
Giả sử tiếp tuyến có phương trình ( ') :∆ ax by c+ + =0, (a2+b2 ≠0) 0,25
Theo bài ta có: 0 | 4 22 |2 2
os45
2
+
+
a b c
a b
3
= −
⇔ a − b + ab= ⇔ =a b
TH1 a = -3b Ta có ( ') : 3∆ − x y c+ + =0
6
=
∆ = ⇔ = −c
d I
c ⇒ ∆ −( ') : 3x y+ − =6 0 và ( ') : 3∆ − x y+ +14 0=
0,25
TH2 b = 3a Ta có ( ') :∆ x+3y c+ =0
Trang 7Có: 12
8
=
∆ = ⇔ = −c
d I
c ⇒ ∆( ') :x+3y+12 0= và ( ') :∆ x+3y− =8 0
Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: − + − =3x y 6 0; − + +3x y 14 0= ;
x+3y+ =12 0; x+3y− =8 0
0,25
Xét khai triển sau: (x+1)2011=C20110 x2011+C20111 x2010+C20112 x2009+ + C20112010x C+ 20112011 0,25
Nhân cả hai vế với x ta được
x x( +1)2011=C20110 x2012+C12011x2011+C20112 x2010+ + C20112010 2x +C20112011x 0,25
Lấy đạo hàm hai vế ta được
2010 0 2011 1 2010 2 2009 2010 2011
(2012x+1)(x+1) =2012C x +2011C x +2010C x + + 2C x C+ 0,25
Ta có: 3
0
sin 2012 sin 2012
x
I
→
3
2 3 3
+ −
I
0 0 3 2 3
x
0,25
sin 2012 sin 2012 1+ 1
I
x
0,25
1 2
3018 4024 12072
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)