Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox.. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Trang 1ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2 011 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH (7,0 điểm)
Câu I : (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
1
m
x
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 2 2 os 5 sin 1
12
c x x
2) Giải hệ phương trình: log2 2 2 3log (82 2 2)
Câu III: (1,0 điểm ) Tính tích phân:
3
2 0
4 ln 4
x
Câu IV :( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 600.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Câu V :(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: S2 x2 1 3 y216 z236
PHẦN B : THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của
cạnh BC,phương trình đường thẳng DM:x y 2 0 và C 3; 3 .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d : 3x y 2 0 ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai điểm A 1; 3;0 , B 5; 1; 2 Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất
Câu VII a (1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1 (1.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1 :x y 30 và
0 6 :
d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật
2 (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
, d2:
2 2 3
y
z t
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng: 2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
……….…….Hết www.laisac.page.tl
Trang 2Trường thpt Chuyờn Vĩnh Phỳc kỳ thi khẢo SÁT đại học năm 2011
Mụn Toỏn 12 -Khối A-Lần thứ 3
Cõ
u
m
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 3x22. 1,00
T
ập xỏc định: Hàm số cú tập xỏc định D.
Sự biến thiờn: y'3x2 6x. Ta cú 0 0
2
x y'
x
y, 0 x 0 x 2 h/s đồng biến trờn cỏc khoảng ;0 & 2;
y, 0 0 x 2 h/s nghịch biến trờn khoảng 0; 2
0,25
y CD y 0 2; y CT y 2 2.
x
lim y lim x 1
0,25
Bảng biến thiờn:
x 0 2
y' 0 0
y
2
2
0,25
Đồ thị:
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-5
5
x
y
0,25
2
Biện luận số nghiệm của phương trỡnh 2 m
x 2x 2
x 1
theo tham số m. 1,00
Trang 3 Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1
1
m
của phương trình bằng số giao điểm của yx2 2x 2 x1, C' và đường
thẳng y m,x 1.
0,25
1
f x khi x
f x khi x
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x 1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox.
Đồ thị hàm số y = 2
(x 2x 2) x1 , với x 1 có dạng như hình vẽ sau
0,25
hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-5
5
x y
0,25
Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox
Dựa vào đồ thị ta có:
+ m 2: Phương trình vô nghiệm;
+ m 2: Phương trình có 2 nghiệm kép
+ 2 m 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0,25
1
Giải phương trình: 2 2 os 5 sin 1
12
c x x
1,0
5
12
c x x
Trang 45 5 1 5 5
5
0,50
2
Giải hệ phương trình: log2 2 2 3log (82 2 2)
1,0
Điều kiện: x+y>0, x-y0
Đặt: u x y
v x y
2
3 (2) 2
uv
Thế (1) vào (2) ta có:
2
4
uv
u v
(vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y =2.
(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0,25đ
III
Tính tích phân:
3
2 0
4 ln 4
x
1,0
Đặt
2
4 2
4 3
16x
4 x
v
0,50
2 4
2
0 0
Gọi H là trung điểm của AB SHAB SHABC
SAC ; SBC KA; KB 600
Nếu AKB 60 0 thì dễ thấy KABđều KA KB AB AC (vô lí)
Vậy AKB 120 0
0,25
Trang 5cân tại K AKH 60 0
0
KH
Trong SHC vuông tại H,đường cao
KH có 1 2 12 12
KH HC HS thay KH a
2 3
và HC a 3
2
vào ta được SH a 6
8
0,25
0,25
0,25
V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: S2 x2 1 3 y216 z236
1,0
Ta có: S 2x 222 3y 2122 z262 Trong hệ toạ độ OXY xét 3
véc tơ
a 2x;2 , b 3y;4 ,c z;6
,
a b c 2x 3y z;2 12 6 40;20
a 2x 2 , b 3y 12 , c z 6
, a b c 20 5
Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :
S= a b c a b c S 20 5 Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ
a, b,c
cùng hướng xét hệ điều kiện :2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40 2
x 2, y 8,z 12
Với : x 2, y 8,z 12 thì S 20 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 đạt được khi :
x 2, y 8,z 12
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D. 1,00 Gọi At; 3t 2 Ta có khoảng cách:
hay A 3; 7 A 1;5 .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM
nên chỉ có A1;5 thoả mãn
Gọi Dm;m 2 DMthì AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1
Do ABCD là hình vuông
2 2 2 2
DA.DC 0
DA DC
m 5
Hay D5;3 AB DC 2; 6 B 3; 1
Kết luận A1;5 ,B 3; 1 , D5;3
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 62 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng P : x y z 1 0
……
1,00
Đặt vt của (P) là:f x; y;z x y z 1 ta có
A A A B B B
f x ; y ;z f x ; y ;z 0
A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi B đối xứng với B qua (P)'
'
B 1; 3;4
MA MB MA MB AB Đẳng thức xẩy ra khi '
M, A, B thẳng hàng
M P AB'.Mặt khác phương trình '
x 1 t
toạ độ M là
M 2; 3;6
0,25
0,25 0,25
0,25
VII
A Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
1,00
Xét khai triển:
0 0
n 1
0,25 0,25
0,25 0,25
Ta có: d1d2 I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
2 / 3 y
2 / 9 x 0 6 y x
0 3 y x
2
3
; 2
9 I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD Md1Ox
Suy ra M( 3; 0)
0,25đ
2
3 2
9 3 2 IM 2 AB
2 2
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 d AD
0,25đ
Trang 7Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên
có PT: 1(x 3)1(y 0)0 xy 30 Lại có: MAMD 2
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
2 y
3 x
0 3 y x
2 2
1 3 x
x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x
3 x y 2 y 3 x
3 x y
2 2
2 2
1 y
2 x hoặc
1 y
4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0,25đ
2
3
; 2
9
2 1 3 y y y
7 2 9 x x x
A I C
A I C
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0,25đ
2 phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 1,00 Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u 1
( 1; - 1; 2)
và u2
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0) d1; N( 2; 3; 0) d2
Xét u u 1; 2 MN
Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) d1 B(2 – 2t’; 3; t’) d2
1 2
AB u
AB u
1 3
t t
A 5 4; ; 2
; B (2; 3; 0) Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2
Ta có :
2
3 5 2
0,25đ
0,25đ
PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có dạng:
0,25đ
VII B
1 x C C x C x C x C x (1)
Lấy đạo hàm hai vế 1 ta được:
2010 12011 22011 2 32011 2010 20112011
2011 1 x C 2xC 3x C 2011x C
nhân hai vế với x ta được:
2010 12011 2 22011 3 32011 2011 20112011
2011x 1 x xC 2x C 3x C 2011x C (2)
Lấy đạo hàm hai vế 2 ta được
(3)
Thay x=1 vào hai vế của (3) ta được:
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C
0,25 0,25
0,25 0,25
Trang 8Vậy S=2011.2012.22009
