Định m để hàm số 1 có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
Trang 1TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG CẦN THƠ Môn thi: TOÁN; khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y= x3 −3x2 −mx+2 (1) với m là tham số thực.
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0.
2 Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với
hai trục tọa độ một tam giác cân
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: ) cot tan 2
4 2 ( cos
2 2 x+π = x− x−
2 Giải bất phương trình: 2 ( 3 5 4 3) 15 5 2 9
x x
+ +
Câu III (1 điểm)
x
x x
x
∫cot −tansin4−2tan2
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính thể0
tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng bốn nghiệm thực:
m x+ x + = x + x+
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) - Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác trong kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ
từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình: x + y – 3 = 0, x – y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z − 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và điểm
(1; 1; 1)
A − − Tìm tọa độ các điểm M trên (P), N trên (Q) sao cho MN vuông góc với giao tuyến của (P), (Q) và nhận A là trung điểm.
Câu VII.a (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại B, phương trình AB: 3x y− −2 3 0= , tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (0; 2) I , điểm B thuộc trục Ox Tìm tọa độ điểm C.
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm ( 1;0;1), (2; 1;0), (2; 4; 2) A − B − C và mặt phẳng ( ) :α x y+ +2z+ =2 0 Tìm tọa độ điểm M trên (α) sao cho biểu thức 2 2 2
T =MA +MB +MC đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.b (1 điểm)
Giải phương trình: log x+3(4x2+4x+ +1) log2x+1(2x2+7x+ =3) 5
-Hết -Họ và tên thí sinh:……… www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN; khối: B
I
(2,0 điểm) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y=x - x +
• Tập xác định: D = ¡
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
0
2
x
x
-é = ê
-0,25
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2)
- Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = y(2) = − 2;
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 2
- Giới hạn: xlim→−∞= +∞, xlim→+∞= −∞
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
y = x- y = Û x- = Û x= y =
⇒ điểm uốn I(0; 2)
Đồ thị: đi qua các điểm (−2; −1), (2; 3)
và nhận điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng
0,25
2 Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
3 2 ) 2 3
2 ( ' )
1 ( 3 1
2
3 2 3
m x
m y
x
mx x x y
− +
−
− +
−
=
+
−
−
=
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình
3 2 ) 2 3
2
y = − − + −
0,25
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai
+
−
3
6
; 0 , 0
; ) 3 ( 2
B m
m
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB=
m
+
0,5
0 y’(x)
y(x)
2
−2
−∞
+∞
x
y
1
2
− 2
2
Trang 3Với m = 6 thìA≡ B≡Odo đó so với điều kiện ta nhận
2
3
−
=
m
II
(2,0 điểm) 1 Giải phương trình: 2cos2(2x+π4)=cotx−tanx−2
Đk x≠ k ,k∈Ζ
2
π
Phương trình đã cho tương đương với: 1 cos(4 ) cos2 2
2 sin cos
x x
p
-0,25
2
,
l
x p p l
So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là ,
l
x= p+ p l Î ¢
0,25
2 Giải bất phương trình: 2 ( 3 5 4 3) 15 5 2 9
x x
+ +
3
x ³
Bất phương trình đã cho tương đương với
x x
+ +
0,25
3
f x = x- + x- - " ³x
3
-nên hàm ( )f x tăng 5
3
x
" ³ , mặt khác (3)f =0
0,50
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 5
3
III
(1,0 điểm) cot tan 2tan2 2cot2 2tan2
-=
2cot 4 sin4
x dx x
2
cos4 2
sin 4
x dx x
1 2sin4x C
IV
(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với đáy,
góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của0
A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp S.ABC.
B
S
K
H
Trang 4⇒ tam giác AHK vuông tại H và
AKH =
⇒ AH =AK.sin600
0,25
⇒
2
SA
2
ABC
a
SD = AB BC =
3
a
V = SD SA=
0,25
V
(1,0 điểm) Pt đã cho được viết lại về dạng:
m x+ x + = +x + x + (1)
Do x = − 4 không phải là nghiệm (1) dù m lấy bất cứ giá trị nào nên:
pt (1) ⇔
2 2
4 2
m
x x
+
2
x t x
+
= + , pt (2) trở thành:
4
m t
t
= +
0,25
Xét hàm ( ) 2 4
2
x
f x
x
+
=
2
x
1 3; lim ( ) 1 ; lim ( ) 1
æö÷
ç ÷
çè ø Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra điều kiện của t là: −1 < t ≤ 3 và pt 2 4
2
x t x
+
=
+ có 2
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 1 < t < 3 (3)
0,25
Lại xét hàm g t( ) t 4
t
= + với −1 < t ≤ 3 ;
2 2
4
t
13 ( 1) 5; (1) 5; (2) 4; (3)
3
g - =- g = g = g = , xlim ( )®0- f x =- ¥ ; lim ( )x®0+ f x = +¥
Từ (3) và bảng biến thiên ta suy ra điều kiện của m thỏa yêu cầu bài toán là: 4 13
3
m
< < 0,25
VI.a
(2,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A, đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ
từ C lần lượt là x + y – 3 = 0, x – y + 1 = 0, 2x + y + 1 = 0 Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Đặt l A : x + y – 3 = 0, m B : x – y + 1 = 0, h C : 2x + y + 1 = 0
- A ∈ l A⇒ A(a; 3-a); B ∈ m B⇒ B(b;b+1); C ∈ h C⇒ C(c;-1-2c)
- AB ⊥ h C⇒ 3a + b – 4 = 0 (1)
0,25
x f’(x)
t = f(x)
+
−1
3
1
x g’(x)
m = g(x)
−1
0
−
−
−5
3
1
−∞
+∞
4
3
Trang 5Gọi M là trung điểm của AC ⇒ ;2 2
Mæççç + - - ö÷÷÷
÷
M ∈ m B⇒ 2a + 3c = 0 (2)
0,25
- Gọi N là trung điểm BM ⇒ 2 ;4 2 2
Næççç + + - + - ö÷÷÷
÷
l A⊥ m B⇒ N ∈ l A⇒ 4b – c – 8 = 0 (3)
0,25
Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) ta được
Aæçççç ö æ÷÷÷÷Bçççç ö æ÷÷÷÷Cçççç- - ö÷÷÷÷
0,25
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z − 3 = 0, (Q): y + z + 5 = 0 và điểm
(1; 1; 1)
A − − Tìm tọa độ các điểm M trên (P), N trên (Q) sao cho MN vuông góc với giao tuyến của (P), (Q) và nhận A là trung điểm.
M Î P Þ M x y - x
A là trung điểm MN ⇒ N(2- x; 2- - y; 5- +x)
Î ( )Þ - =2 (1)
(2 2 ; 2 2 ; 8 2 )
MNuuuur= - x- - y- + x
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q): nr1=(1;0;1),nr2=(0;1;1)
⇒ nr =[ , ] ( 1; 1;1)n nr r1 2 =
-0,25
MN vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) ⇒ MN n =uuuur r. 0
Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta được =x 2,y=0
VII.a
(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
Đặt u=4x2 - 1, v=2y , ĐK: u > 0, v > 0 Khi đó hệ trở thành:
2
2 2
2
u v
u v
2
u v
ì - =-ïï
0,25
Giải (I), (II) được: ( ; ) (4; 2), 3 7;
2 2
u v ìïï æç ö÷üïï
=í çç ÷÷ý
• ( ; ) 3 7;
2 2
u v æç ö÷
=ç ÷÷
1 ( ; ) 2log 6; log 7 1
2
VI.b
(2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại B, phương trình AB: 3x y− −2 3 0= , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (0; 2) I , điểm B thuộc trục Ox.
Tìm tọa độ điểm C.
- B = AB ∩ Ox ⇒ B(2;0); A ∈ AB ⇒ A a a( ; 3 2 3- ) 0,25
- AC qua A và vuông góc với IB =uur (2; 2)- ⇒ AC: x y- + -2 2 3=0 0,25
Trang 6( ; 2 2 3)
C Î AC Þ C c c+
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm ( 1;0;1), (2; 1;0), (2; 4; 2) A − B − C và mặt phẳng ( ) :α x y+ +2z+ =2 0 Tìm tọa độ điểm M trên (α) sao cho biểu thức T =MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
M Î a Þ M - -y z- y z
Gọi G là điểm sao cho: GA GB GCuur uuur uuur r+ + = Þ0 G(1; 1; 1)Þ GA2+GB2+GC2=const 0,25
3
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
⇒ T nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên mp(α)
0,25
Û uuur= + + - - cùng phương với vtpt của (α): nr=(1; 1; 2)
y+ z+ - y - z
VII.b
(1,0 điểm) Giải phương trình:
2 1 3
log x+ (4x +4x+ +1) log x+(2x +7x+ =3) 5 (1) Đk:
1 2 0
x x
ìïï >-ïïí
ïï ¹ ïïî Phương trình đã cho tương đương với 4log (2x+3 x+ +1) log2x+1(x+3)= (2)4
0,25
Đặt t=log2x+1(x + , t 3) ≠ 0 Phương trình (2) trở thành: t2- 4t+ =4 0⇔ t = 2 0,25
8
x=- ±
So với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình (1) là 3 41
8
x=- +
0,25
