Đề thi thử đại học môn Toán có đáp án số 63

Gọi M, N là cỏc điểm lần lượt di động trờn cỏc cạnh AB, AC sao cho DMN ⊥ ABC.. Tớnh thể tớch tứ diện DAMN theo x và y.. Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B.. Viết phư

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.

Mụn thi : TOÁN

I.PHẦN CHUNG: ( 7,0 điểm )

Cõu I (2,0 điểm): Cho hàm số f x( )= +x3 mx+2,cú đồ thị (C m)

1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m= −3

2.Tỡm tập hợp cỏc giỏ trị của m để đồ thị ( C cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm m)

Cõu II (2,0 điểm):

1.Giải phương trỡnh :2sin2x−sin2x+sinx+cosx−1=0

2 Giải hệ phương trỡnh:











+

=

−

=

−

2 2

3

1 9

12 18

y xy

x xy

Cõu III (1,0 điểm): Tớnh

2 3

0

sin

1 cos 2

x

=

+

∫

Cõu IV (1,0 điểm): Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng 1 Gọi M, N là cỏc điểm lần lượt di động trờn

cỏc cạnh AB, AC sao cho (DMN) (⊥ ABC) Đặt AM = x, AN = y Tớnh thể tớch tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y + = 3 xy

Cõu V(1,0 điểm): Cho x, y, z 0≥ thoả món x + y + z > 0

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 16

P

x y z

= + +

II PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).

A Theo chương trỡnh Chuẩn:

Cõu VI.a (2,0 điểm):

1 Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường trũn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 9 = 0

Tỡm những điểm M ∈(C) và N ∈ (d) sao cho MN cú độ dài nhỏ nhất

2 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh: 2 4 2

1

x

x

m e + = e + cú nghiệm thực

Cõu VII a.(1,0 điểm): Giải phương trỡnh: log 4.163( x +12x) =2x+1

B Theo chương trỡnh Nõng cao:

Cõu VI.b (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC, cú điểm A(2; 3), trọng tõm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trờn hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm

C và tiếp xỳc với đường thẳng BG

2 Tìm m để phơng trình: 10x2+ + =8x 4 m x(2 +1) x2+1 có 2 nghiệm thực phân biệt

Cõu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trỡnh: log 3 1 log 3 2

2 x+ + 2 x− = x

.Hết

( Đề thi cú 01 trang Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)

Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh:

GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.

Môn thi : TOÁN )

I Hướng dẫn chung

1) Nếu thí sinh có lời giải khác với hướng dẫn chấm, nếu có lập luận đúng dựa vào SGK hiện hành và có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó ; chỉ cho điểm đến phần học sinh làm đúng từ trên xuống dưới và phần làm bài sau không cho điểm

2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn tổ chấm thi

II Hướng dẫn chấm và thang điểm

I.PHẦN CHUNG: ( 7,0 điểm )

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3

f x = +x mx+ có đồ thị (C m) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= −3

2) Tìm tập hợp các giá trị của m để đồ thị ( C cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm m)

I.-1

(1,0

đ)

m= −3 hàm số trở thành: f x( )= − +x3 3x 2,

Tập xác định D R=

Sự biến thiên

1

x

x

= −



= − = ⇔  =

1

x y

x

< −



> ⇔  > hàm số đồng biến trên (−∞ −; 1)và(1;+∞)

' 0y < ⇔ − < <1 x 1 hàm số nghịch biến trên (−1;1)

điểm CĐ(−1;4), điểm CT( )1;0 ; limx→−∞y= −∞ ; lim

x y

→+∞ = +∞

Bảng biến thiên:

x −∞ 1− 1 +∞

'

y + 0 − 0 +

y

Đồ thị

Điểm uốn: y'' 6= x= ⇔ =0 x 0, Điểm uốn U( )0;2

( vẽ đúng đồ thị, đi qua các điểm cơ bản )

0,25

0,25

0,25

0,25

I-2

(1,0

đ)

Phương trình cho HĐGĐ 3

2 0,(*)

x +mx+ = x=0không thỏa mãn nên:

3

2

x

+

⇔ = −

Xét hàm số

3

2

2

+

= − = − − ⇒ = − +

g x = ⇔ =x ta có bảng biến thiên:

x −∞ 0 1 +∞

'( )

g x + ll + 0 −

0,25 0,25 0,25

−∞

+∞

CT CĐ

( )

g x

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đường thẳng y m= và đồ thị hàm số y g x= ( )

nên để (*) có một nghiệm duy nhất thì m> −3

Lưu ý:

Có thể lập luận để đồ thị (C m)của hàm số y= f x( ) hoặc không có cực trị hoặc có hai

điểm cực trị và hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành

0,25

Câu II ( 2 điểm ) 1.Giải phương trình :2sin2x−sin2x+sinx+cosx−1=0

0 1 cos sin

) 1 cos 2 ( sin 2 0 1 cos sin

2 sin sin

2

2 8(cos 1) (2cos 3) )

1 cos 2

=

Víi sinx=0,5 ta cã x π 2kπ

6 +

6

5

+









−

=

−

=











 −

⇔

−

=

−

4

sin 2

2 4

sin 1 cos

suy ra x= 2kπ hoÆc x π 2kπ

2

3

+

=

0.25

2 Giải hệ phương trình:









+

=

−

=

−

2 2

3

1 9

12 18

y xy

x xy

Hệ:









≥

⇒

≥

⇒ +

=

≤

⇒

≥

−

⇒

−

=

−

3 2 3

2 3

1 9

3 2 0

12 12

18

2

2 2

x y y

x y xy

x x

x xy

0.25

18 3

=

{−2 3;2 3}

∈

Thử lại, thoả mãn hệ đã cho Vậy, ( )x;y ∈{ (−2 3;−3 3) (, 2 3;3 3) }

0.25

Câu III (1 điểm) Tính

2 3

0

sin

1 cos 2

x

π +

= +

∫

+

1

−∞

+∞

−∞

-3

−∞

Đặt

cos

dv

x

=

3

2

x

x

0

0.25

1 2

3 1

2 3

0.25

Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các

cạnh AB, AC sao cho (DMN) (⊥ ABC) Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y+ =3 xy

Dựng DH ⊥MN tại H

Do (DMN) (⊥ ABC)⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC là

Trong tam giác vuông DHA:

2

1

.sin 60

AMN

0.25

Thể tích tứ diện D AMN là 1 2

Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z ≥0thoả mãn x+y+z > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 16

P

x y z

= + +

Trước hết ta có: ( )3

3 3

4

x y

D

A

B C

H M N

(với t = z

a, 0≤ ≤t 1) Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈[ ]0;1 Có

9

0.25

( )

[ ] 0;1

64 inf

81

t

∈

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).

A Theo chương trình Chuẩn:

Câu VIa.(2,0 điểm) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn

(C): x2 + y2 + 2x - 6y + 9 = 0 Tìm những điểm M ∈(C) và N ∈ (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất

(d): 3x - 4y + 5 = 0 ; (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1

d (I ; d) = 2 ⇒(d) ∩ (C) = Ø ; Giả sử tìm được N0 ∈ (d) ⇒ N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d)⇒ N0 = (d) ∩( )∆ , với: ( )







−

=

⇒

⊥

∆

−

∋

∆

∆ 3; 4 )

(

) 3

; 1 (

u d











⇒







−

=

+

−

=

∆

⇒

5

7

; 5

1 4

3

3 1

t y

t x

0.25

Rõ ràng ( )∆ ∩ (C) = {M1; M2} ; M1 









−

5

11

; 5

2









−

5

19

; 5

8 ,M0 ∈ (C) để M0N0 nhỏ nhất ⇒ M0 ≡ M1 và M0N0 = 1

0.25

Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán.M 









−

5

11

; 5

2









 5

7

; 5

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: 2 4 2 1

x

x

m e+ = e + có nghiệm thực

x

t e= ĐK: t > 0 PT trở thành: m=4 t4+ −1 t 0.25 Xét f t( )= 4t4+ −1 t với t > 0

3 4 4 4

1

t

f t

t

+

  →hàm số NB trên (0;+ ∞) 0.50

1

t f t t

Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: log 4.163( x +12x) =2x+1.

4.16x 12x 3 x+ 4.4 x 4 3x x 3.3 x

Chia 2 vế cho 32x >0, ta có:

2

  +  − =

 ÷  ÷

0.50

Đặt 4

3

x

t  

4

t> t + − = ↔ = −t t ktm t= tm 0.25

Khi 3

4

t= , ta cú:

1

1

x

x

−

  = =  ↔ = −

B Theo chương trỡnh Nõng cao:

Cõu VIb (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC, cú điểm A(2; 3), trọng tõm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trờn hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm

C và tiếp xỳc với đường thẳng BG

Giả sử B x y( ;B B)∈ ⇒d1 x B = − −y B 5; ( ;C x y C C)∈ ⇒d2 x C = −2y C +7

Vỡ G là trọng tõm nờn ta cú hệ: 2 6

3 0

B C

B C



 + + =



0.25

Ta cú BGuuur(3;4)⇒VTPT nuuurBG(4; 3)− nờn phương trỡnh BG: 4x – 3y – 8 = 0 0.25 Bỏn kớnh R = d(C; BG) = 9

5 ⇒phương trỡnh đường trũn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 81

25

0.25

2 Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1

Nhận xét : 10x2+8x+4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)

1

1 2 ( ) 1

1 2

2

2

+

+

− +

+

x

x m x

x

x

+

+ 1

1 2

2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=

t

2 2 +

0.25 Lập bảng biến thiên của hàm số trên (−2, 5] 0.25

ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:

5

12

4<m≤ hoặc -5 <m<−4

0.25

Cõu VII b.(1,0 điểm) Giải phương trỡnh: log 3 1 log 3 2

2 x+ +2 x− = x

Ta cú:

2

t

t+ t = ↔t t = ↔t   = = 

Khi t = 2 thỡ log3 x= ↔ =2 x 9 (th) KL: nghiệm PT là x=9 0.25

… HẾT…