Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.. Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC.. Tìm tâm và bán kính của đường tròn T.. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’.
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I ( 2 điểm)
3
x
x
+
=
− 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2) Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng 1
5 khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.
Câu II ( 2 điểm)
1) Giải phương trình :2sin3x−cos 2x+cosx=0
Câu III ( 1 điểm)
Tính
1
2 0
I =∫x +x dx
Câu IV ( 1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a
Câu V ( 1 điểm)
Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP= x2 12 y2 12
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a ( 2 điểm)
1) Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình d: 2x - 5y + 3 = 0 và d’: x + y - 5 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC 2) Cho mặt cầu (S) : (x−3)2+ +(y 2)2+ −(z 1)2 =100 và mặt phẳng ( ) : 2α x−2y z− + =9 0 Chứng minh rằng (S) và ( )α cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (T)
Câu VII.a ( 1 điểm)
Tìm số phức z, nếu z2+ =z 0.
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI b ( 2 điểm)
1) Cho đường tròn ( C) x2+y2−2x−4y− =4 0và điểm A (-2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C) tiếp xúc với ( C) tại M, N Tính diện tích tam giác AMN
2) Cho hai đường thẳng d:
2
1 1
1 1
−
−
=
x
và d’:
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
2 4
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’
Câu VII.b ( 1 điểm) Cho hàm số
y
x
− +
= (C) Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó
kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C)
*********************Hết********************
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
Nội dung
2sin x (1 2sin x) cosx 0
2
2sin (1 sinx) (1 cos ) 0x x
⇔ −(1 cos ) 2(1 cos )(1 sinx) 1x [ + x + − =] 0
(1 cos ) 2(sinx cos ) 2sin cosx x x x 1 0
2(sinx cos ) 2sin cos 1 0 (2)
x
Giải (1) ta được x=2kπ (k Z∈ )
4
Ta được phương trình t2+ =2t 0 ⇔ = −t t=02 (loai)
4
x −π kπ k Z
4
x= −π +kπ k Z∈
Bình phương hai vế ta được 6 x x( +1)(x− ≤2) 4x2−12x−4
3 x x( 1)(x 2) 2 (x x 2) 2(x 1)
1
x x
t
x
−
+ ta được bpt
2
2t − − ≥3t 2 0
1
2 2
2
t
t t
−
≤
≥
( do
0
t≥ )
1
x x
x
−
+
x
x x
≤ −
≥ +
1
xdx
x
+
2
2
x
dv xdx= ⇒ =v
Do đó
1 1
2
1 2
0 0
1
x
+
∫
Tính I1: Ta có
2
Trang 3C
B
A
K
H a
2a
a
A
D
E B
d’
C
d
d1
2
+) Theo bài ra ta có SH ⊥(AHK)
BC ⊥SA BC⊥AB⇒BC ⊥ SAB ⇒BC⊥AK
Và AK ⊥SC nên
AK ⊥ SBC ⇒AK ⊥KH v ⊥AK
+) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông
a
+) Ta có
2
AHK
a
S AHK AHK
a
2
2
2 /
+) B¶ng biÕn thiªn :
t 0 1
16
-P 289
16
+) Từ bbt ta có min P 289
16
+) Gọi D d= ∩d'nên tọa độ của D là nghiệm của hệ
22
7
x
D
x y
y
=
Trang 4+) Goi d1 là đường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1 là: x + y – 8 = 0.
Gọi E d= ∩d1 nên (33 19; )
7 7
E Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung điểm AE suy ra (1;1)A
+) Ta có cạnh BC ⊥c với d nên phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0Suy ra
C = BC ∩ ⇒d C − ⇒uuurAC −
+) Vậy phương trình cạnh AC là 1 38
1 47
= −
= +
+) Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính r = 10 Ta có : ( ,( )) 2.3 2( 2) 1 9 6
4 4 1
+ + Vậy ( ,( ))d I α <r nên (S) cắt ( )α theo giao tuyến là đường tròn (T)
+) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên ( )α Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với ( )α Lúc đó (d) có vectơ chỉphương là a nr r= =(2; 2; 1)− − Phương trình tham số của (d) là :
3 2
1
= +
= −
¡
+) Ta có J = ∩d ( )α Xét hệ:
3 2
2 2 1
= +
= − −
= −
− − + =
Giải hệ này ta được : J(-1;2;3)
+) Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có : 2 2
100 36 8
r′ = r −h = − = Vậy : J(-1;2;3) và r’= 8
+) Đặt z = x + yi, khi đó z2 + z = ⇔ 0 (x yi+ ) 2 + x2 +y2 = 0
xy
− + + =
⇔ − + + + = ⇔
=
+) ⇔
2
2
0
0
1
0
0
x
y
y
x x
y
=
= = = = =
− + = − = = =
⇔ ⇔ = ⇔
= = = = −
= + >
+ = + = = =
+)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.
+) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3 Và dễ thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x= -2
Trang 5+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( -2; 3) cú hệ số gúc là k ta cú d’ y = k(x + 2) + 3
d’ là tiếp tuyến của ( C ) d( I, d’ ) = R 3 2 1 3 4
3 1
k
k k
+
= ⇔ = +
+ ta cú tiếp điểm của d và (C ) là M(-2; 0), của d’ và (C ) là ( 7 57; )
N −
+ Ta cú AM = 3, ( , ) 2 7 3
AMN
+) Ta cú vtcp của d (1; 1; 2) à M(2;1;1) dur − v ∈ vtcp của d’ '(1; 1;1) à (4;2;0) d'ur − v N ∈ => MNuuuur(2;1; 1)−
+)Ta cú , ' u u MNr ur uuuur = ≠3 0 vậy d và d’ chộo nhau ta cú A d∈ ⇒ A(2+k;1−k;1 2 )+ k ,
B d∈ ⇒B +t −t t ⇒uuurAB(2+ −t k;1− − − + −t k; 1 t 2 )k AB là đoạn vuụng gúc chung . 0
' 0
AB u
AB u
=
uuurr uuur ur
uuur
Vậy d(d,d’) = AB = 3 2
2
Chỳ ý : cú thể tớnh theo cỏch ( , ') , ' 3
2 , '
u u MN
d d d
u u
r ur uuuur
r ur
+) Gọi M là điểm thuộc đờng thẳng x=1, d là đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k d có phơng trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
+) Thay (2) vào (1) ta có
2
( 1)
2
+)Để từ M kẻ đợc đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phơng trình (3) có đúng 2 ngiệm phân biệt
m
m m
− >
2
m m
<
(*)
+) Vậy trên đờng thẳng x=1 Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ đi điểm (1,-2) thì từ đó kẻ đợc
đúng 2 tiếp tuyến đến C