Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 126

Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC.. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 450.. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.. Viết phương

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 126

Ngày 10 tháng 6 năm 2015

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y=2x3−3mx2+(m−1)x+1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1

2 Tìm mđể đường thẳng y=2x+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm C 0;1( ) nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng 30

Câu 2.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: log (2 2 8) 6

8x 2 3x y 2.3x y

+





1 Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3

2 Tìm số phức z thỏa mãn ( )2 2

z+ + − −z i z= +

Câu 3.(1.0 điểm)

1 Giải hệ phương trình: log (2 2 8) 6

8x 2 3x y 2.3x y

+





2 Cho khai triển ( )10

1 2x+ ( 2)2

3 4x 4x+ + = a + 0 a x + 1 a x2 2 + .+a x14 14 Tìm giá trị của a6

Câu 4.(1.0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 1 2 4( 1)





Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I =

e

1

ln x 2

dx

x ln x x

− +

Câu 6.(1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a Cạnh SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450 Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a

Câu 7.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3) Biết đỉnh A , C lần lượt

thuộc các đường thẳng : x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

Câu 8.(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1

1

1

z

= +



 = −



 =



;

2

:

− Viết phương trình mp(P) song song với d1 và d2, sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P)

Câu 9.(1,0 điểm) Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 + y2 +z2 =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

z y x zx yz xy A

+ + + + +

-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 126

1.1 Cho hàm số y=2x3−3mx2+(m−1)x+1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=1 1.0 Với m=1 ta có 3 2 2 3 1 y= x − x + • TXĐ: D=R • Sự biến thiên: - Giới hạn: limx→+∞y= +∞ ; limx→−∞y= −∞ 0,25 -Ta có: ' 6 (y = x x− ⇒1) ' 0 0 1 x y x =  = ⇔  = -BBT: x −∞ 0 1 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 1 +∞

−∞ 0

0,25

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và (1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)

Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCĐ=1

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và yCT=0

0,25

• Đồ thị:

- Ta có '' 12 6 '' 0 1

2

2 2

I

⇒ là điểm uốn của đồ thị

- Đồ thị (C) cắt trục Oy tại A 0;1( )

- Đồ thi cắt trục Ox tại B 1;0 ;C( ) 1;0

2

− 

1.2 Tìm m để đường thẳng y=2x+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa

mãn điểm C 0;1 nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng 30 ( )

1.0

Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số:y=2x3−3mx2+(m−1)x+1 là

nghiệm phương trình: 2x3−3mx2+(m−1)x+ =1 2x+1

2

2

= ⇒ =





0,25

Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A; C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và

chỉ khi PT (*) có 2 nghiệm trái dấu ⇔2.(m− < ⇔ <3) 0 m 3 0,25

Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn

3 2 3

2

A B

A B

m

m

x x

 + =







 = +

 ( vì A và B thuộc (d)) 0,25

AB = 30 ⇔ (x B −x A)2+(y B −y A)2 = 30

2

−

9

0,25

2.1 Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 0.5

Phương trình đã cho tương đương với: 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x

4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx

2cos3x= 3 osx+sinx

c



+ osx=0 x=

2

+

6

2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- )

6

6

k

π



 = − +



12

24 2

k x

 = − +



⇔ 

 = +



0,25

2.2 Tìm số phức z thỏa mãn ( )2 2

Gọi z = a + bi suy ra được z , ( )2 2

1 , 1

z+ z− theo a, b Theo đề bài ta có hệ

2

ab b

 Giải hệ được nghiệm (1 ; 2) ,

1

;5 2

− 

 

0.25

Đs : 1 2 ; 1 5

2

3.1

Giải hệ phương trình: log (2 2 8) 6

8x 2 3x y 2.3x y

+





0.5

Điều kiện: y – 2x + 8 > 0

(1)⇔y – 2x + 8 = ( )6

2 ⇔ =y 2x Thay y=2x vào phương trình (2), ta được

8x+2 3x x =2.3x ⇔ +8x 18x =2.27x 8 18 2

⇔ ÷ + ÷ =

3

2

⇔ ÷ + ÷ =

Đặt: t = 2

3

x

 

 ÷

  (t > 0).Ta có phương trình t3+ − = ⇔ −t 2 0 (t 1) (t2+ + =t 2) 0 1 0

0

x t

y

=



Vậy nghiệm của hệ phương trình (0;0)

0,25

3.2

Cho khai triển ( )10

1 2x+ .( 2)2

3 4x 4x+ + = a0+ a1x + a2x 2 + .+a14x 14 Tìm giá trị của a 6 0.5

1 2x+ .( 2)2

3 4x 4x+ + = ( )10

1 2x+ ( )2 2

2 1 2x

é+ + ù

= 4( )10

1 2x+ + 4( )12

1 2x+ + ( )14

1 2x+

Hệ số của x 6 trong khai triển 4( )10

1 2x+ là 4.2 6 C106

Hệ số của x 6 trong khai triển 4( )12

1 2x+ là 4.2 6 C126

Hệ số của x 6 trong khai triển 4( )14

1 2x+ là 2 6 C146

0.25

Vậy a 6 = 4.2 6 C106 + 4.2 6 C126 + 2 6 C614 = 482496 0.25

Giải hệ phương trình

2 2

2 1 2 4( 1)





1.0

Điều kiện: x+2y+ ≥1 0 Đặt t = x+2y+1 (t 0)≥ 0,25

Phương trình (1) trở thành : 2t2 – t – 6 = 0

2 / 3 t/m 2

 =



+ Hệ 2 2 23





1 1 ( / ) 2

1 2

x y

t m x

y

 =



















0,5

5

Tính tích phân: I =

e

1

ln x 2

dx

x ln x x

− +

Ta có: I=

e

1

ln x 2

dx

x ln x x

− +

e

1

ln x 2

dx (ln x 1)x

− +

Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt = 1

dx

Suy ra: I =

6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a Cạnh SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC) Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450 Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABC Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a 1.0

BC (SAB) BC SB

BC SA

⊥

Suy ra góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc ·SBA Theo giả thiết ·SBA = 450

0,25

Gọi M là trung điểm của SC, H là trung điểm của AC

Tam giác SAC vuông tại A nên MA = MS = MC, tam giác SBC vuông tại B nên MB = MC =

MS Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

0,25

Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A, do đó SA = AB = a

SA⊥(ABC), MH // SA nên MH⊥(ABC).Suy ra MH là đường cao khối chóp M.ABC 0,25 Suy ra

3

7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3) Biết đỉnh A , C

lần lượt thuộc các đường thẳng : x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình 1.0

Vỡ điểm A thuộc đường thẳng x + y + 3 = 0 và C thuộc đường thẳng x+ 2y + 3 = 0 nờn A(a ; - a – 3)

Đường thẳng BD đi qua điểm I(2 ; -3 ) và cú vtcp là ur

=(1;3) cú ptts là x 2 t

y 3 3t

= +



 = − +



B∈ BD ⇒ B(2+t ; -3 +3t)

Khi đú : uuurAB

= (3 +t ;–1+3t); CBuuur

= (- 3+t; 1+3t)

AB CB→ → = Û t = ± 1

0,25

Vậy A(-1; -2); C(5 ;-4), B(3;0) và D(1;-6) hoặc A(-1; -2); C(5 ;-4), B(1;-6) và D(3;0) 0,25 8

Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1

1

1

z

= +



 = −



 =



;

2

:

− Viết phương trỡnh mp(P) song song với d và 1 d , sao cho khoảng 2

cỏch từ d đến (P) gấp hai lần khoảng cỏch từ 1 d đến (P).2

1.0

1

d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : u→1 = −(1; 1;0); d2 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là:

2 1; 2; 2

u→ = −

0,25

Gọi n→ là một vtpt của (P), vỡ (P) song song với d1 và d2 nờn →n= [u u→ →1; 2] = (-2 ; -2 ; -1)

⇒ (P): 2x + 2y + z + D = 0

0,25

d(A ; (P) = 2d( B;(P)) ⇔ +7 D =2 5+D 7 2(5 )



3

Vậy phương trỡnh mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z - 17

9 Cho cỏc số thực khụng õm x ,,y z thoả món x2 +y2 +z2 =3

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:

z y x zx yz xy A

+ + + + +

Đặt t=x+y+z ⇒

2

3 )

( 2 3

2

2 = + + + ⇒ + + =t −

zx yz xy zx

yz xy

Ta có 0≤xy+ yz+zx≤ x2 + y2 +z2 =3 nên 3≤t2 ≤9 ⇒ 3≤t≤3 vì t>0

2

3 2

t

t

2

3 5 2 ) (

2

≤

≤

− +

t

t t

3

2 = − >

−

=

t

t t t t

Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3,3] Do đó

3

14 ) 3 ( ) (t ≤ f =

f

Dấu đẳng thức xảy ra khi t=3⇔x= y=z=1

Vậy GTLN của A là

3

14

, đạt đợc khi x= y=z=1

0,25