ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 117
Ngày 31 tháng 5 năm 2015
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số : y x = 3− 3x2 + 1 có đồ thị là ( ) C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn ( ) ( ) (2 )2
: x m y m 1 5
Câu 2.(1,0 điểm)
1 Giải phương trình : ( 1 tan − x ) ( 1 sin 2 + x ) = + 1 tan x
2 Tìm số phức z thỏa mãn ( )2 2
z + + − − z i z = +
Câu 3.(0.5 điểm) Giải phương trình: ( 2 ) ( )2 1 ( )2
2
Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
3 4
2 1
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân : 1 ( 4 2)
1 3
Câu 6.(1,0 điểm)
Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C 1 1 1 có chín cạnh đều bằng 5 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB1 và BC1.
Câu 7.( 1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( ) d : x − 3 y − = 4 0 và đường tròn
( ) C x : 2+ y2 − 4 y = 0 Tìm điểm M ∈ ( ) d và điểm N ∈ ( ) C sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm
( ) 3;1
Câu 8.(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng : 2 4
( 1; 2; 1 , )
A − B ( 7; 2;3 − ) .Tìm trên ∆ những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất
Câu 9.(0.5 điểm)
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số
khác nhau ? ( n ∈ N và 1 < n ≤ 5 ).
Câu 10.(1,0 điểm)
Cho a b c , , là các số thực dương thoả mãn ab bc ca + + = 7 abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S 8 a42 1 108 b25 1 16 c62 1
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 117
1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sốy x = 3− 3x2+ 1 (C) 1.0 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D=¡ .
Sự biến thiên:Chiều biến thiên : y' = 3 x2− 6 x Ta có 2
0
0
x y'
x
=
= ⇔ = ,
y > ⇔ < ∨ > ⇔ 0 x 0 x 2 h/số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;0 & 2; ) ( +∞ )
,
y < ⇔ < < ⇔ 0 0 x 2 hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2
Giới hạn 3 3
x x
3 1 lim y lim x 1
x x
→±∞
→±∞
0,25
0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y' + 0 − 0 +
y 1 +∞
−∞ -3
0,25 • Đồ thị: cắt trục Oy tại điểm (0;1)
0,25
1.2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường
tròn ( ) ( ) (2 )2
: x m y m 1 5
1.0
Đồ thị hàm số có điểm cực đại A ( ) 0;1 ,điểm cực tiểu B ( 2; 3 − )suy ra phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị A B , là ( ) d 2 x y + − = 1 0 0,25
đường tròn ( ) ( ) (2 )2
: x m y m 1 5
Γ − + − − = có tâm I m m ( ; + 1 )bán kính R = 5 điều kiện ( ) d tiếp xúc với ( ) ( ( ) ) 2 2 1 12 5
3
2 1
m m
+
0,25 0,25
2 1
O
x
-3
y
y x x = − +
Trang 32.1 Giải phương trình : ( 1 tan − x ) ( 1 sin 2 + x ) = + 1 tan x 0.5
Đặt 2 2
tan sin 2
1
t
t
+ .Phương trình (1) trở thành
1 2
t t
= −
4
t = − ∨ = ⇔ t x = − ∨ x = ⇔ = − + π ∨ = π ∈ x π k x k k
¢
0,25 0,25
2.2 Tìm số phức z thỏa mãn ( )2 2
Gọi z = a + bi suy ra được z , ( )2 2
1 , 1
z + z − theo a, b Theo đề bài ta có hệ 2 2 1 0
2 3 10 0
Giải hệ được nghiệm (1 ; 2) ,
1
;5 2
−
Đs : 1 2 ; 1 5
2
3
Giải phương trình: ( 2 ) ( )2 1 ( )2
2
Đ/k:
1
1 0; 2 0
x x
x
≠ >
+ ≠ − ≠ < −
Khi đó phương trình ( 2 ) ( )2
log x 1 log x 1 log x 2
log x 1 log x 1 x 2 x 1 x 1 x 2
0.25
2
2
> >
= +
< < ∨ < − < < ∨ < −
− = + − + =
Phương trình có 3 nghiệm :x = + 1 2, x = ± 3
0.25
4
Giải hệ phương trình:
3 4
2 1
( , x y ∈ R ) ĐK
2 1
x y
≥
≥
từ phương trình (2) ta có ( )4 ( )2
x − = − ⇒ y y − = − x thay vào phương trình
( ) 1 ta được x − = 2 27 − + − x3 x2 4 x + ⇔ 4 x − + − + 2 x3 x2 4 x − = 31 0 ( ) *
Xét hàm số f x ( ) = x − + − + 2 x3 x2 4 x − 31,với mọi x≥2
0,25 0,25
( )
x
−
hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) mặt khác f ( ) 3 = ⇒ = 0 x 3là nghiệm duy nhất của (*) thay vào phương trình (2) ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(3;2)
0,25
0,25
5
Tính tích phân : 1 ( 4 2)
1 3
Trang 4Ta có 1 ( 4 2)
1 3
ln(3 x 1) ln x ln x ln 3 x 1 dx
Đặt ( 2 )
2
6
ln 3 1
xdx
x
=
( 2 ) 1 1 2
1 3 3
6 4ln 2 ln 3
ln 3 1 |
x dx
x
+
+
∫
Với
dx
π
∫ ∫ ( đặt 3 x = tan t với ;
2 2
t ∈ − π π
1
1 tan 3
dx = + t dt đổi cận 1
; 1
x = ⇒ = t π x = ⇒ = t π
từ đó tính được
0,25
0,25 0,25
0,25
6 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C 1 1 1 có chín cạnh đều bằng 5 Tính góc và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB1 và BC1
1.0
Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5
1 1 5 2
⇒ = = Dựng hình bình hành BDB C1 1⇒ DB1= BC1= 5 2, BD C B = 1 1 = 5,
0 .sin 60 5 3
(do ∆ ACDvuông tại A vì BA BC BD = = ) ⇒ α = ( AB BC1; 1) ( = AB DB1; 1)
1
1 2
cos
AB D
AB DB
= = = ⇒ · AB D1 nhọn từ đó
0,25
0,25
·
1
1 cos
4
AB D
α = ⇔ α = Ta thấy BC1/ / mp AB D AB ( 1 ) , 1⊂ mp AB D ( 1 ) từ đó
1
3 B AB D
AB D
V
dt∆
1
1 1
3 1 sin 2
B ABC
V
AB DB
=
α
0,25
1
1 1
25 3 5.
sin .5 2.5 2.
ABC
BB dt
AB AD
∆
α Đáp số
1 1
1 1
1
4
AB BC
d AB BC
α = α =
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( ) d : x − 3 y − = 4 0và đường tròn
( ) C x : 2+ y2− 4 y = 0.Tìm điểm M ∈ ( ) d và điểm N ∈ ( ) C sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm
( ) 3;1
1.0
Gọi M ( 3 a + 4; a ) ( ) ∈ d mà Nđối xứng với M qua A ( ) 3;1 ⇒ N ( 2 3 ; 2 − a − a ) theo gt 0,25
5
Trang 5Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 2 4
:
− và hai điểm
( 1; 2; 1 , )
A − B ( 7; 2;3 − ).Tìm trên ∆ những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
chứa AB là nhỏ nhất
1.0
Ta có uuur AB = ( 6; 4; 4 − ) đường thẳng ∆ có một vtcp u r = ( 3; 2; 2 − ) ⇒ AB / / ∆Gọi Hlà hình chiếu của
A trên ∆.Gọi ( ) P là mặt phẳng qua A ( 1; 2; 1 − ) và( ) P ⊥ ∆ ⇒ ( ) P : 3 x − 2 y + 2 z + = 3 0
{ } H = ∆ ∩ ( ) P nên toạ độ điểm H là nghiệm của hệ pt :
1
2 1; 2; 2
2
x
z
= −
.Gọi A'đối xứng với A qua ∆ ⇒ A'( − 3; 2;5 ) ( do
Hlà trung điểm của AA') Ta có A A B , , ,' ∆cùng nằm trong một mặt phẳng ( ) P Pt đường thẳng A B' là
Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa A B' và ∆ ⇒ toạ độ M là nghiệm hpt
4
z
Đáp số M ( 2;0; 4 )
0,25
0,25
0,25
0,25
9 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số
khác nhau ? ( n ∈ N và 1 < n ≤ 5 ).
0.5
Với n=2 Số các số có 2 chữ số khác nhau phải tìm là : 2
6
Với n=3 Số các số có 3 chữ số khác nhau phải tìm là : 3
6
A
Với n=4 Số các số có 4 chữ số khác nhau phải tìm là : 4
6
A
Với n=5 Số các số có 5 chữ số khác nhau phải tìm là : 5
6
A
Vậy tất cả có số 2
6
6
6
6
10 Cho a b c , , là các số thực dương thoả mãn ab bc ca + + = 7 abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
8 a 1 108 b 1 16 c 1
S
giả thiết tương đương với 1 1 1
7
a b c + + = áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta có:
4
2 2
16
c
2
2
+ +
dấu bằng xẩy ra khi
,
a c = = b = Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi 1 1
,
0,25 0,25 0,25 0,25