Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.. Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích khối tứ
Trang 1ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 116
Ngày 30 tháng 5 năm 2015
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 1
2
x y x
+
=
− .
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2 Gọi (d) là đường thẳng qua M ( ) 2;0 có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MA uuur = − 2 MB uuur
Câu 2.(1,0 điểm)
1 Giải phương trình 3 sin cos 1
cos
x
2 Giả sử z z z1, 2, 3 là ba nghiệm của phương trình z3+ + =z 10 0 Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
1 2 3
z + z + z
Câu 3.(0.5 điểm) Giải hệ phương trình
2 3
y x
Câu 4.(0.5 điểm) Giải phương trình 2 x2+ + x x2+ + 3 2 x x2+ = 3 9 ( x ∈ ¡ )
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân 4 ( 2 )
2 0
Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · 0
60
, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300 Tính
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.
Câu 7.(1.0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A ( − 1; 2 ) và đường thẳng ( ) d : x − 2 y + = 3 0 Tìm trên đường
thẳng (d) hai điểm B C , sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3 BC
Câu 8.(1.0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 0;1;0 , ) ( B 2; 2; 2 , ) ( C − 2;3; 4 ) và đường thẳng
− Tìm điểm M thuộc (d) sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3.
Câu 9.(0,5 điểm)
Cho tập hợp E={1, 2, 3, 4, 5 } Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các
chữ số đôi một khác nhau thuộc E Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M Tính xác suất để tổng các
chữ số của số đó bằng 10.
Câu 10.(1,0 điểm) Cho bất phương trình − − + 4 x2 2 x + 15 ≥ x2− 2 x − + 13 m
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ − [ 3;5 ] .
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 116
1.1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1
2
x y x
+
=
−
1.0
• Tập xác định: D = ¡ \ 2 { }
• Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: ( )2
3
2
x
−
− Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ; 2 ) và ( 2; +∞ )
0.25
Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
→−∞ = →+∞ = ; tiệm cận ngang: y = 1
→ = −∞ → = +∞; tiệm cận đứng: x=2
0.25
1.2 Gọi (d) là đường thẳng qua M ( ) 2;0 có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,
B sao choMA uuur = − 2 MB uuur
1.0
Phương trình đường thẳng (d): y kx = − 2 k
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 1
2 2
x
− (1) Điều kiện: x≠2 Phương trình (1) tương đương với: f x ( ) = kx2− ( 4 k + 1 ) x + 4 k − = 1 0 (2)
0.25
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2
( )
k
k f
⇔ ∆ = + > ⇔ > −
(*)
0.25
Đặt A x y ( 1; 1) ( , B x y2; 2) với x x1, 2 là hai nghiệm của (2) và y1= kx1− 2 ; k y2 = 2 x2− 2 k
(3)
Theo định lý Viet ta có:
1 2
(4)
(5)
k
k k
x x
k
+
+ =
Từ (3) và (4) suy ra: 1 2 2 2 4 1
;
Trang 3Từ (5) và (6) ta được: 2 2 2 1 4 1 2
.
3
k
, thỏa (*)
Vậy, giá trị k thỏa đề bài là: 2
3
k =
0.25
2.1
Giải phương trình 1
cos
x
Điều kiện: cos x ≠ 0 (*)
Phương trình đã cho tương đương với:
x
x x + x = ⇔ x + + = ⇔ x + x =
x k
π
= +
⇔
=
(k∈¢ ), thỏa (*)
0.25
Vậy, phương trình có nghiệm là:
3
x = + π k π ∨ = x k
2.2 Giả sử z z z là ba nghiệm của phương trình 1, 2, 3 z3+ + =z 10 0 Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
1 2 3
z + z + z
0.5
Ta có z3+ + = ⇔ +z 10 0 (z 2) (z2−2z+ = ⇔ +5) 0 (z 2) (z− +1 2i z) ( − −1 2i)=0
Do đó ta có thể giả sử z1= − 2; z2 = − 1 2 ; i z3 = + 1 2 i suy ra
z + z + z = + − i + + i = + + + + =
0.25
3
Giải hệ phương trình
2 3
y x
0.5
Xét hệ phương trình
2 3
y x
Điều kiện: x > 0; y > 0
Khi đó: (2) ⇔ log 33 x = log3 y ⇔ = y 3 x (3) 0.25 Thay (3) vào (1) ta được:
( )2 2
1
2 4
2
x
=
=
(loại)
• Với x = ⇒ = 1 y 3
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 1
3
x y
=
=
0.25
4 Giải phương trình 2 x2+ + x x2+ + 3 2 x x2+ = 3 9 ( x ∈ ¡ ) 1.0 Đặt t = + x x2+ 3, phương trình đã cho trở thành: t2+ − = t 12 0 2 3
12 0
4
t
t
=
+ − = ⇔ = − 0.5
• Với t=3 thì 2 2 3 2
x
≤
• Với t= −4 thì 2 2 4 2
x
≤ −
Vậy, phương trình có nghiệm là: x = 1
0.25
5
Tính tích phân 4 ( 2 )
2 0
Trang 4Đặt ( 2 ) ( )
2
9 ln 2
x
x
2 9 2
x
Suy ra: 2 ( ) 4 4
2 2
0 0
x
0
x
x
•
4
8 2
x xdx = =
∫
0.25
25log 5 9log 3
ln 2
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · ABC = 600, hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 300
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a.
1.0
Gọi O= AC BD I , M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên:
,
CM ⊥ AB OI ⊥ AB và
2
0.25
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ ( ABCD )
Do AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ SI Suy ra: · ( SAB ) ( , ABCD ) = ( · OI SI , ) = · SIO = 300
Xét tam giác vuông SOI ta được: 0 3 3
Suy ra:
0.25
Gọi J= OI CD I và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI
Suy ra: 3
2
2
a
IJ = OI = và JH ⊥ ( SAB )
Do CD / / AB ⇒ CD / / ( SAB ) Suy ra:d SA CD ( , ) = d CD SAB , ( ) = d J SAB , ( ) = JH
0.25
Xét tam giác vuông IJH ta được: 0 3 1 3
Vậy ( , ) 3
4
a
0.25
7 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A ( − 1; 2 ) và đường thẳng ( ) d : x − 2 y + = 3 0 Tìm trên đường
thẳng (d) hai điểm B C , sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3 BC
1.0
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng ( ) ∆ qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0 + + =
A 1; 2 ( − ) ( ) ∈ ∆ ⇔ − + + = ⇔ = 2 2 m 0 m 0
Suy ra: ( ) ∆ : 2x y 0 + =
0.25
Trang 5Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: { 2x y 0 x 3 3 6
y 5
= −
0.25
Đặt B 2t 3; t ( − ) ∈ (d), theo giả thiết ta có: AC = 3 BC ⇔ AC2 = 9 BC2
2
16 t
3
=
0.25
;
Với
;
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: 13 16
;
15 15
hoặc
1 4
;
3 3
0.25
8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A ( 0;1;0 , ) ( B 2; 2; 2 , ) ( C − 2;3; 4 ) và đường thẳng
− Tìm điểm M thuộc (d) sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3.
1.0
Ta có: uuur AB = ( 2;1; 2 ; ) uuur AC = − ( 2; 2; 4 ) ⇒ uuur uuur AB AC , = ( 0; 12;6 − ) 0.25
Phương trình tham số của (d):
1 2 2
3 2
= +
= − −
= − +
Đặt M ( 1 2 ; 2 + t − − − + t ; 3 2 t )
Ta có: uuuur AM = + ( 1 2 ; 3 t − − − + t ; 3 2 t ).Suy ra: uuur uuur uuuur AB AC AM , = + 18 24 t
0.25
0 1
6
2
MABC
t
t
=
= −
Với t = ⇒ 0 M ( 1; 2; 3 − − ) Với 1
2
t = ⇒ M − − −
Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là M ( 1; 2; 3 − − ) hoặc 1
2
M − − −
0.25
9
Cho tập hợp E={1, 2, 3, 4, 5 } Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ
số đôi một khác nhau thuộc E Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M Tính xác suất để tổng các chữ số
của số đó bằng 10
0.5
Số các số thuộc M có 3 chữ số là A53 =60
Số các số thuộc M có 4 chữ số là A54 =120
Số các số thuộc M có 5 chữ số là A55 =120
Suy ra số phần tử của M là 60 120 120 300.+ + =
0,25
Các tập con của E có tổng các phần tử bằng 10 gồm E1={1,2,3,4},E2 ={2,3,5},E3 ={1,4,5}
Gọi A là tập con của M mà mỗi số thuộc A có tổng các chữ số bằng 10.
Từ E1 lập được số các số thuộc A là 4!
Từ mỗi tập E2 và E3 lập được số các số thuộc A là 3!
Suy ra số phần tử của A là 4! 2.3! 36.+ =
Do đó xác suất cần tính là 36
0,12
300
0,25
10 Cho bất phương trình − − + 4 x2 2 x + 15 ≥ x2− 2 x − + 13 m
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ − [ 3;5 ] 1.0 Xét bất phương trình: − − + 4 x2 2 x + 15 ≥ x2− 2 x − + 13 m (1)
Điều kiện: 2
Trang 6Đặt t = − + x2 2 x + 15, ta có: 21
x
−
Bảng biến thiên:
Suy ra: t ∈ [ ] 0; 4
0.25
t = − + x x + ⇔ x − x = − t nên bất phương trình đã cho trở thành:
t2− − ≥ 4 t 2 m (2)
0.25
Xét hàm số f t ( ) = − − t2 4 t 2 với t ∈ [ ] 0; 4 , ta có:
f t ' ( ) = − = ⇔ = 2 t 4 0 t 2
Bảng biến thiên:
Suy ra: min ( )[ ]0;4 ( ) 2 6
t f t f
0.25
Bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ ∈ − x [ 3;5 ] ⇔ Bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ ∈ t [ ] 0; 4
⇔ m ≤ tmin ( )∈[ ]0;4 f t ⇔ m≤ −6
Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: m ≤ − 6
0.25
