Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 114

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.. Viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng P đồng th

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA MÔN TOÁN 2015 SỐ 114

Ngày 30 tháng 5 năm 2015

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 4

1

x y

x

+

=

1)Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số trên.

2)Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm

M, N và MN = 3 10

Câu 2.(1,0 điểm).

1 Giải phương trình cot 2cos 4 tan

sin 2

x

x

2 Tìm số phức z biết: z − = 1 1 và số phức ( 1 + i )( z − 1 ) có phần ảo bằng 1.

Câu 3.(0,5 điểm) Giải hệ phương trình ( )

2

+







Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2







Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân

x

e

=

∫

Câu 6.(1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB a = 3 · , BAD = 600và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.

Câu 7.(1,0 điểm)

Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình

( ) (2 )2

x y Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông biết cạnh AB đi qua M(-3;-2) và 0

>

A

x

Câu 8.(1,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1

:

;

2

:

và mặt phẳng (P): x y + − 2 z + = 3 0 Viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.

Câu 9.(0.5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy 1, 2, 3, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ 6 + n điểm đã cho là 439

Câu 10.(1,0 điểm) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x + 3y + z = 40.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2

Hết…

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 114

1.1

Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 2 4

1

x y

x

+

=

1,0

TXĐ: R \ 1 { } ;

( )2

6 '

1

y

x

=

y > ∀ ≠ x nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

BBT:

0.25

Đồ thị đi qua các điểm (0;-4), (-2;0)

1.2 Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và

3 10

MN =

1.0

Từ giả thiết ta có: ( ) : d y k x = ( − + 1) 1. Ta có hệ

( 1) 1

( ) 1

( 1) 1

x

k x

I x

y k x

+





Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( ; ), ( ; ) x y1 1 x y2 2 phân biệt sao cho

( ) (2 )2

x − x + y − y =

0.25

Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình kx2− (2 k − 3) x k + + = 3 0(**) có hai

nghiệm phân biệt khác 1 Khi đó dễ có được 3

8

Theo định lí Viet cho (**) ta có: 1 2 2 3 1 2 3

+ = = thế vào (***) ta có phương trình:

0.5

2.1

Giải phương trình 2cos 4

sin 2

x

x

− = Đk: sin 2 0

2

2 cos 2 cos 4 0 2cos 2 cos 2 1 0

cos 2 1

1 cos 2

2

x x

=





⇔



0.25

cos 2 x = 1 loại do điều kiện

1 cos 2

thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm

3

2.2 Tìm số phức z biết: z − = 1 1 và số phức ( 1 + i )( z − 1 ) có phần ảo bằng 1 0.5 Đặt z = x + yi ( x , y ∈ R ) ⇒ z = x − yi Ta có: z − 1 = 1 ⇔ ( x − 1 )2 + y2 = 1 ( 1 ) 0.25

Vì ( 1 + i )( z − 1 ) = ( x + y − 1 ) + ( x − y − 1 ) i;

(1 + i z )( − 1)có phần ảo bằng 1 nên x y − − = 1 1 ⇔ x − 1 = y + 1 ( 2 )

Thay (2) vào (1) ta được : ( y + 1 )2 + y2 = 1 ⇔ 2 y2 + 2 y = 0 ⇔ = − y 1; y = 0

Với y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ z = 2 Với y = − 1 ⇒ x = 1 ⇒ z = 1 − i

Vậy có 2 số phức là z = 2 và z = 1 - i

0.25

3

2

+





1, 0

xy

> − >



 + >



0.5

( ) 1 ⇔ ( 2x+ 3 3 ) (y = 2x+ 3 3 ) x+1⇔ 3y = 3x+1⇔ = + y x 1

( ) ( 2 ⇔ + 1 x ) ( 1 + xy ) = 2 y2

0.25

Hệ



,

;





⇔



Kiểm tra điều kiện ban đầu ta có nghiệm của hệ là 1 5 3 5 1 5 3 5

0.25

4

Giải hệ phương trình

2





 ĐK 2 x y + + ≥ 5 0

1.0

= ⇒ =





Vậy hệ có nghiệm ( , ) ( ) : 2;0 ; 1 2 7 3 2 7 ;

5

Tính tích phân

x

e

=

Đặt t = ex− 2; x = ln 2 ⇒ = t 0; x = ln 3 ⇒ = t 1; e dxx = 2 tdt

Ta có 1( )2

2 0

2 1

I

t t

+

=

+ +

1

2 1

d t t t

+ +

6 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB a = 3 , BAD · = 600và mp(SAB)

vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính thể tích khối tứ diện NSDC và

tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN

1.0

Từ giả thiết AB=2a, SA=a, SB a = 3nên tam giác SAB vuông tại S

Gọi M là trung điểm của AB thì SM=a.Khi đó tam giác SAM đều Gọi H là trung điểm AM

thì SH vuông góc với AB Mặt khác (SAB)⊥ (ABCD)

nên suy ra SH⊥(ABCD)

( )

0.5

Gọi Q là điểm thuộc AD sao cho AD=4AQ

Khi đó MQ//ND nên góc giữa SM và DN

0.5

bằng góc giữa SM và QM Gọi K là trung

điểm của QM suy ra HK//AD nên HK ⊥MQ

mà SH⊥(ABCD) suy ra SK⊥MQ

Suy ra góc giữa SM và DN bằng ·SMK

Ta tính được cos · 3

4

SMK =

Vậy cos(SM, DN)= 3

4

7 Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình

( ) (2 )2

x y Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông biết cạnh AB đi qua M(-3;-2) và xA > 0

1.0

PT đường thẳng AB đi qua M(-3;-2) có dạng a x by + + 3 a + 2 b = 0

Đường tròn nội tiếp hình vuông nên ta có

2 2

+

Khi đó phương trình cạnh AB là x − 3 y − = 3 0 hoặc 3 x y − + = 7 0

0.25

TH1: pt AB: x − 3 y − = 3 0, gọi A(3t+3;t) với t>-1 do

IA = R = ⇔ t + = ⇔ = t t = − loai

Suy ra A(6;1), C(-2;5), B(0;-1), D(4;7)

0.25

8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 1 1

:

:

và mặt phẳng (P): x y + − 2 z + = 3 0 Viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt cả

hai đường thẳng d1 và d2

1.0

Giả sử d cắt d1, d2 lần lượt tại A và B, do d nằm trên (P) nên A, B chính là giao điểm của d1, d2 với (P) 0.25

Ta tìm được d1 cắt (P) tại A(-5;-4;-3); d2 cắt (P) tại B(-5;-10;-6) 0.5

9 Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy 1, 2, 3, n điểm phân biệt khác A, B, C,

D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ 6 + n điểm đã cho là 439 0.5

Số tam giác có ba đỉnh lấy từ n+6 điểm Cn3+6 - (1 + Cn3) = 439 0.25

10 Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x + 3y + z = 40

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 2 x2+ + 1 3 y2+ 16 + z2+ 36

S = x + + y + + z + Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc tơ

( 2 ; 2 , ) ( 3 ; 4 , ) ( ) ;6

a r = x b r = y c r = z ,a b c r r r + + = ( 2 x + 3 y z + ; 2 12 6 + + = ) ( 40; 20 ) 0.25 ( )2 2 ( )2 2 ( )2 2

Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :

S= a r + + ≥ + + b r c r a b c r r r ⇒ ≥ S 20 5.Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ a b c r r r , ,

2

x = y = ⇒ z x = y = = z x + y z + = =

2, 8, 12

Với : x = 2, y = 8, z = 12 thì S = 20 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5đạt được khi : x = 2, y = 8, z = 12

0.25