Làm thế nào để cắt từ mảnh bìa đó ra thành hình chữ nhật MNPQ có diện tích bằng 1 17 diện tích tam giác ABC.. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM.. M là một
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI KHU VỰC
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2012-2013
Lớp 9 Cấp THCS
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian thi: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25 /02/2013
Chú ý : Đề thị gồm 05 trang , 6 bài , mỗi bài 5 điểm
Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI (họ, tên và chữ ký)Các giám khảo (Do Chủ tịch hội đồng chấm thi ghi)SỐ PHÁCH
1) 2)
Quy dịnh :
- Các bài toán có yêu cầu trình bày lời giải thì chỉ trình bày tóm tắt cách giải và
công thức áp dụng;
- Nếu không có yêu cầu riêng thì các kết quả gần đúng lấy đến 4 chữ số thập phân
sau dấu phẩy.
Bài 1 (5 điểm, mỗi câu 2, 5 điểm ) Ghi kết quả vào ô:
a)Cho biểu thức: P = ( )3 3 3 ( )4 2 2 ( )5
Tính giá trị của P khi a = 2,2013; b = 0,2413
b)Tính tỉ số của A và B biết A= 1 1 1 1
1.1981 2.1982 + + +n(1980 n) + + 25.2005
+
1.26 2.27 + + + m(25 m) + + 1980.2005
+ Trong đó A có 25 số hạng, B có 1980 số hạng
Bài 2 (5 điểm, mỗi câu 2, 5 điểm ).
a) Cho hàm số f(x)= (x3 + 12x - 31)2013 Tính f(a) tại a = 3 16 8 5 − + 3 16 8 5 +
b) Phân tích số 20112013 thành tổng các số nguyên dương Tìm dư của phép chia
Trang 2Sơ lược cách giải Kết quả
Bài 3 : (5 điểm,mỗi câu 2, 5 điểm )
a)Tìm các chữ số a,b sao cho E = 17712 81ab là số chính phương biết a + b = 13 b) Giải phương trình:
3 3
8 2001
4004 2001 2002
x
x
+ = −
Sơ lược cách giải Kết quả
Trang 3Bài 4: (5 điểm) Một mảnh bìa có dạng một tam giác cân ABC , với AB =AC =
25cm và BC = 14cm Làm thế nào để cắt từ mảnh bìa đó ra thành hình chữ nhật MNPQ có diện tích bằng 1
17 diện tích tam giác ABC Trong đó M, N thuộc cạnh
BC còn P, Q tương ứng thuộc các cạnh AC , AB
Trang 4Bài 5 (5 điểm,mỗi câu 2, 5 điểm )
a) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1 Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho ∠ ABD = ∠ CBE = 200 Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN
Sơ lược cách giải Kết quả
b) Cho đường tròn (O;R) AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB Tìm vị trí của điểm H để Giá trị của tích: MA.MB.MC.MD lớn nhất Áp dụng khi R= 3cm
Sơ lược cách giải Kết quả
Trang 5Bài 6 : ( 5 điểm )
Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập với số tiền gửi ban đầu là 3,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75% một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An đủ tiền mua 1 máy tính trị giá 10,5 triệu đồng Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện vọng của An hơn)
Trang 6SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI KHU VỰC
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2012-2013
Lớp 9 Cấp THCS
Thời gian thi: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/02/2013 ĐIỂ
M CỦA TOÀN BÀI THI
Các giám khảo
(Do Chủ tịch hội đồng chấm thi ghi)
Quy dịnh :
- Nếu kết quả không lấy gần đúng đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì trừ
0,25điểm cho mỗi số thừa ra
- Nếu các bài yêu cầu trình bày lời giải mà không có lời giải chỉ có kết quả thì cho một
phần tư số điểm của bài.
Bài 1 (5 điểm, mỗi câu 2, 5 điểm ) Ghi kết quả vào ô:
a)Cho biểu thức: P = ( )3 3 3 ( )4 2 2 ( )5
Tính giá trị của P khi a = 2,2013; b = 0,2413
b)Tính tỉ số của A và B biết A= 1 1 1 1
1.1981 2.1982 + + +n(1980 n) + + 25.2005
+
1.26 2.27 + + + m(25 m) + + 1980.2005
+ Trong đó A có 25 số hạng, B có 1980 số hạng
Tính được A = 1 1 1 1 1 1 1
1980 1 2 25 1981 1982 2005
+ + + − + + +
25 1 2 25 1981 1982 2005
+ + + − + + +
25 0.0126 1980
A
Bài 2 (5 điểm, mỗi câu 2, 5 điểm ).
b) Cho hàm số f(x)= (x3 + 12x - 31)2013 Tính f(a) tại a = 3 16 8 5 − + 3 16 8 5 +
c) Phân tích số 20112013 thành tổng các số nguyên dương Tìm dư của phép chia
của tổng các lập phương của các số đó cho 6
P= 3 31
a b ; P≈6,6725
Trang 7a) a = 3 16 8 5 − + 3 16 8 5 +
32 3 16 8 5 16 8 5 16 8 5 16 8 5
32 12 12 32 0 12 31 1
a
⇒ = + − + − + +
⇒ = − ⇒ + − = ⇒ + − =
Hay f(a) = 12013 =1
b) Giả sử a1; a2; a3 ; an là các số nguyên dương và
a1+ a2 + a3 + + an = 20112013
Khi đó dư của phép chia
a13+ a23 + a33 + + an3 cho 6 cũng là dư của phép chia
a1+ a2 + a3 + + an cho 6
Ta có: 20112013= (2010+1)2013 = (335.6 +1)2013 ≡ 12013 = 1(mod6)
Vậy a13+ a23 + a33 + + an3 chia cho 6 dư 1
a) f(a)= 1
b) Dư 1
Bài 3 : (5 điểm,mỗi câu 2, 5 điểm )
a)Tìm các chữ số a,b sao cho E = 17712 81ab là số chính phương biết a + b = 13 b) Giải phương trình:
3 3
8 2001
4004 2001 2002
x
x
+ = −
a) Đặt E = x2 với x là số nguyên dương, ta có:
177120081 177129981 177120081 177129981
13308,64685 13309,0187
x
Do x là số nguyên dương nên x = 13309 thử lại thấy
x2 = 177129481 khi đó a=9; b=4
b) Đặt t =2x; b=2001, PT đã cho tương đương với PT
3
3
1 (2) 1
b
+ = + −
+ ÷
3
1
b
+
+ ÷
từ pt(2) ta có hệ pt 3
3
( 1) 0 (3)
( 1) 0 (4)
− + + =
− + + =
Trừ từng vế (3) và (4) ta được
3 3 ( 1)( ) 0 ( 1)( 2 2 1) 0 (5)
y − + +t b y t− = ⇔ −y y + + + + =yt t b
Mà:
y + + + + =yt t b y+ + + + >b V b= = >
÷
Từ (5) suy ra y = t, thay vào (3) ta được pt: t3 – 2002t +2001 = 0
Nhập vào máy giải pt ta được x1= 0,5; x2 ≈22,1177;
a) a=9; b=4
b) x1= 0,5;
x2 ≈22,1177;
x3 ≈-22,6177
Trang 8Bài 4: (5 điểm) Một mảnh bìa có dạng một tam giác cân ABC , với AB =AC = 25cm và BC = 14cm Làm thế nào để cắt từ mảnh bìa đó ra thành hình chữ nhật MNPQ có diện tích bằng 1
17 diện tích tam giác ABC Trong đó M, N thuộc cạnh
BC còn P, Q tương ứng thuộc các cạnh AC , AB
Sơ lược cách giải
Kẻ đường cao AH, AH là trục đối xứng của ∆ABC và HC = HB = 7cm
Cũng tính được HA = 24cm
Giả sử N∈HC, gọi K là giao điểm của AH với PQ,
ta có :
SMNPQ = 171 SABC ⇔ SHNPK = 1
17SAHC = 171 84 (cm2) (1) Đặt HN = x (0 < x < 7) thì NC = 7 – x,
đặt NP = y (0 < y < 24)
Do NP // AH nên NP= NC y (7 x).24
−
⇔ = ⇒ SHNPK = xy = 24x(7 x)
7
− (2)
Từ (1) & (2) ⇒ 24x(7 x)
7
−
= 171 84 ⇔ 24x2 – 168x + 58817 = 0 Dùng MTCT tìm được : x1 ≈ 6,787677528 và x2 ≈0,212322471
Vậy có 2 phương án cắt được hình chữ nhật MNPQ là :
Lấy N∈HC sao cho HN = 6,7877cm hoặc HN = 0,2123cm kẻ đường thẳng song song với AH nó cắt AC tại P, kẻ PQ // BC (Q∈AB) và M đối xứng với N qua AH, được MNPQ cần tìm
Bài 5 (5 điểm,mỗi câu 2, 5 điểm )
a) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1 Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho ∠ ABD = ∠ CBE = 200 Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN
Sơ lược cách giải Kết quả
a) Kẻ BI ⊥ AC ⇒ I là trung điểm AC
Ta có: ∠ ABD = ∠ CBE = 200⇒∠ DBE = 200 (1)
∆ ADB = ∆ CEB (g–c–g)
⇒ BD = BE ⇒∆ BDE cân tại B ⇒ I là trung điểm DE
mà BM = BN và ∠ MBN = 200
⇒∆ BMN và ∆ BDE đồng dạng.⇒
2
1 4
BMN
BED
= ÷ =
⇒ SBNE = 2SBMN = 1
2S BDE= SBIE
SBCE + SBNE =
3
8 ≈0,2165(đvdt)
K
y
x P
C N H
M
B
Q
A
Trang 9Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = 1 3
2S ABC = 8
b) Cho đường tròn (O;R) AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB Tìm vị trí của điểm H để Giá trị của tích: MA.MB.MC.MD lớn nhất Áp dụng khi R= 3cm
Sơ lược cách giải Kết quả
Ta có:
K
H O
D
C
M
MA.MB.MC.MD = AB.MH.CD.MK =
4R2.OH.MH ( Vì MK=OH) Mà
Vậy MA.MB.MC.MD 4 2 2 2 4
2
R
đẳng thức xảy ra ⇔MH = OH ⇔ OH =
2
2
R
H cách O một khoảng là 2
2
Bài 6 : ( 5 điểm )
Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập với số tiền gửi ban đầu là 3,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75% một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An đủ tiền mua 1 máy tính trị giá 10,5 triệu đồng Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện vọng của An hơn)
Sơ lược cách giải Kết quả
Lý luận để ra công thức lãi kép : số tiền sau kỳ thứ n (cả gốc
và lãi ) là
S = 3,5.(1+3.0,75:100)n =3,5.(1,0225)n (triệu đồng)
24 kỳ 6 tháng =12 năm
Trang 10Dùng máy dễ thấy n≤49thì(*) không đúng
n=50 thì (*) đúng
Lại có (1,0225)n tăng khi n tăng vì 1,0225>1
Do đó kết luận phải ít nhất 50 kỳ 3 tháng hay 12 năm 6 tháng thì bạn An mới có đủ tiền mua máy tính
Tương tự nếu gửi kỳ hạn 6 tháng lãi suất 0,8% một tháng ta có: S/ = 3,5.( 1+ 6.0,8: 100)n = 3,5.(1,048)n ≥ 10,5
Ta tìm được n = 24 ⇒ phải gửi 24 kì 6 tháng hay 12 năm
So sánh để thấy gửi kiểu sau hiệu quả hơn( Chỉ cần 24 kỳ 6 tháng =12 năm là đạt nguyện vọng)