Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội 2008 (vòng 1)CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ môn vật lý

Các cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L1 và L2; nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở ngoài có giá trị R.. c Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây và hiệu điện thế giữa

CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

Bài 1 Quá trình quá độ của dòng điện trong mạch có cuộn cảm: Cho

mạch điện như hình vẽ Các cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L1 và L2;

nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở ngoài có giá trị R

Ban đầu K mở Tính cường độ dòng điện qua R, qua L1 và L2 khi K đóng

Lời giải:

Khi K đóng, dòng điện trong các đoạn mạch tăng, do đó trong các cuộn dây xuất hiện suất điện động cảm ứng:

dt

di L

1

dt

di L

2

Ta luôn có u AB e1 e2

 L1di1 L2di2

Ban đầu i1i2  0  L1i1 L2i2 (1.3)

Từ (1.3) và (1.4)  i

L L

L i

2 1

2 1



Theo định luật Ôm ta có:

2 1 -e r) R

i E

dt

di i

1 L r) R

(  



dt

di L L

L L i

E

2 1

2 1 r) R

(









0 )

( 2 1

2

 r R i E

dt

di L

L

L

L

(1.7) Phương trình vi phân này có nghiệm

C e

I



Tại thời điểm K đóng thì i = 0, do đó

I0 + C = 0

Thay (1.8) vào (1.7) ta được:

2 1

2 1











 I e r R I e C E L

L

L

> C =

R r

E



>

r R

E I





 0

> ( )( 1 2).

2 1

L L L L

R r

































L L L R r

e r R

E

2

1 ) )(

(

1

r R

E





2 1

L L L L

R r







Từ (1.9) suy ra:

- Khi t = 0: i = 0

- Khi t tăng, dòng điện qua đoạn mạch tăng dần theo đồ thị như

hình vẽ

- Khi t >  thì i dần đến giá trị

r R

E I





 0

Như vậy, có thể nói khi thời gian t đủ lớn thì dòng điện giữ không đổi và cuộn cảm không còn ảnh hưởng gì tới dòng điện trong mạch nữa.

Theo (1.5), cường độ dòng điện trong các cuộn dây là

r R

E L L

L i L L

L i











2 1

2 2

1

2

r R

E L L

L i L L

L i











2 1

1 2

1

1

Nhận xét: Do tác dụng của cuộn cảm nên dòng điện trong mạch tăng một cách từ từ, nếu điện trở

R là một bóng đèn thì đèn sẽ sáng lên dần, sau một lúc mới có độ sáng ổn định, đây chính là sự quá

độ của dòng điện trong một mạch điện có cuộn cảm.

Bài 2 Sự chuyển hoá năng lượng điện thành năng lượng từ: Cho mạch

điện như hình vẽ: nguồn điện E = 6V, tụ điện có điện dung C =



1

(F), cuộn dây thuần cảm, độ tự cảm là L =



1

(H) Ban đầu khoá K ở vị trí 1

Sau đó chuyển K sang vị trí 2

a) Tính hiệu điện thế, điện tích và năng lượng của tụ điện khi K ở vị trí 1

b) Khi K chuyển sang 2, tính cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây

c) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện khi năng lượng điện trường trong tụ điện bằng 3 lần năng lượng từ trường trong cuộn dây

Lời giải:

a) Khi K ở vị trí 1, nguồn điện tích điện cho tụ điện và trong mạch không có dòng điện Khi đó hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện là

U0 = E = 6 V

Điện tích của tụ điện là

Q0 = C.U0 =



6

(C) Năng lượng của tụ điện là năng lượng điện trường trong tụ điện:

W0 =

2

1

Q0U0 =



18

(J) b) Khi K chuyển sang 2, trong mạch hình thành một dao động điện từ xoay chiều

Ở thời điểm ban đầu, i = 0, u = U0, năng lượng của mạch chỉ gồm năng lượng điện trường trong tụ điện

2 0 0

2

1

Vì cuộn dây thuần cảm nên tại một thời điểm bất kì ta luôn có: tổng năng lượng của mạch được bảo toàn:

2 0 2

2 0

2

1 2

1 2

1

Từ (2.1) ta thấy: i đạt cực đại khi u = 0

Từ đó ta có: 2

0

2 max

2

1 2

1

CU

L

C U I

imax  0  0

Thay số ta được: I0 = 6 A

c) Khi năng lượng điện trường trong tụ điện bằng 3 lần năng lượng từ trường trong cuộn dây, ta có:

2 2

2

1 3 2

1

Li

Thay (2.3) vào (2.1) ta được:

2 0 2

2

1 2

1

0 0

2

1 2

1

I L

C U

i 

Từ (2.3)

C

L i

u 3

Nhận xét: Trong bài toán này ban đầu năng lượng của hệ được dự trữ dưới dạng năng lượng điện

trường của tụ điện, sau đó năng lượng này được chuyển hoá thành năng lượng từ trường trong cuộn dây và ngược lại.

Bài 3 Sự chuyển hoá năng lượng từ thành năng lượng điện: Cho mạch

điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r, điện trở

thuần R, cuộn dây thuần cảm, độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C Ban đầu

khoá K ở 1, sau đó K chuyển nhanh sang 2

a) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây khi K ở 1

b) Tính hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện khi K chuyển sang 2

c) Tính hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện khi cường độ dòng điện trong cuộn dây bằng ½ cường độ dòng điện cực đại

Lời giải:

a) Khi khoá K ở vị trí 1: dòng điện qua cuộn dây là dòng điện không đổi, cuộn cảm không cản trở dòng điện Do đó dòng điện qua cuộn dây là:

R r

E I





b) Khi K chuyển sang vị trí 2, cuộn dây và tụ điện tạo thành một mạch dao động: trong mạch hình thành một dao động điện từ xoay chiều Vì cuộn dây thuần cảm nên tổng năng lượng của mạch bảo toàn:

2 0

2

0 2

1 2

1

U0 là hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện

>

C

L R r

E C

L I U





 0

0

2 0

2

1 2

1 2

1 2

1

2

1

I

i  vào biểu thức trên ta được:

2

2 0 2

0

2 0

2

1 4 2

1 2

1 2

1

W LI  CU  L I  Cu

0

2 0 2

2

1 4

3 2

1 4

3 2

1

CU LI

>

C

L r R

E U

u







2

3 2

3

0

Nhận xét: Trong bài toán này ban đầu năng lượng của hệ được dự trữ

dưới dạng năng lượng từ trường trong cuộn dây, sau đó năng lượng này

được chuyển hoá thành năng lượng điện trường của tụ điện và ngược lại.

Tuy nhiên sự chuyển mạch của khoá K phải diễn ra nhanh và ta phải bỏ

qua sự phóng điện khi chuyển mạch Với mạch điện như hình bên thì ta chỉ

cần ngắt khoá K chứ không cần chuyển mạch, khi ấy không có sự phóng

điện khi K tiếp xúc với đầu dây 2.

Bài 4 Sự biến đổi cơ năng thành năng lượng từ trường: Cho mạch

điện như hình vẽ: Cuộn dây thuần cảm, có độ tự cảm L; thanh kim loại

MN khối lượng là m, chiều dài l , điện trở không đáng kể có thể trượt

không ma sát dọc theo 2 thanh ray x, y Bỏ qua điện trở của các thanh

ray và điện trở tiếp xúc giữa MN và các thanh ray Hệ thống được đặt

trong một mặt phẳng nằm ngang trong một từ trường đều cảm ứng từ

B hướng thẳng đứng xuống dưới

Thanh MN đang đứng yên, truyền cho MN vận tốc ban đầu v0 theo hướng như hình vẽ Tìm quy luật chuyển động của MN

Lời giải:

Khi thanh MN chuyển động trong từ trường thì trong thanh xuất hiện suất điện động cảm ứng Khi vận tốc của thanh là v thì: e  Bvl

Suất điện động cảm ứng này làm phát sinh trong mạch chứa cuộn dây một dòng điện cảm ứng i c Đây là một dòng điện biến thiên, do đó trong cuộn cảm lại suất hiện một suất điện động

tự cảm e’ Ta có:

'

dt

di L

Theo định luật Ohm ta có: u CD e e'

Tại một thời điểm bất kì năng lượng của hệ bao gồm:

- Động năng của thanh MN: 2

2

1

mv

K 

- Năng lượng từ trường trong cuộn cảm: 2

1

1

Vì bỏ qua mọi ma sát và điện trở của mạch bằng 0 nên tổng năng lượng của hệ được bảo toàn:

const Li

mv K

2

1 2

1

Lấy đạo hàm hai vế của (4.2) theo thời gian ta được:

0 ' '

dt

dE

Từ (4.1)  ' i"

Bl

L v dt

dv



Thay (4.4) vào (4.3) ta được:

0 '

"

'.

Bl

L i Bl

L

m

Vì i’  0 nên ta được:

0

mL

l B

i

Đặt

mL

Bl



(4.6)

Phương trình này có nghiệm là một hàm điều hoà:

) sin(

0   

Từ (4.1) rút ra:  '  I0cos( t  )

mL

Bl Bl

L i Bl

L v

Hay  I0cos( t  )

m

L

Chọn trục Ox như hình vẽ, gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật

Tại thời điểm t = 0: v = v0 và i = 0

 I0 cos v0

m

L



 và I0sin   0

   0 và

L

m v

 vv0cos t

Lấy tích phân của v ta được:

t

v

0sin

Với

Bl

mL v v

Phương trình (4.10) chứng tỏ thanh MN dao động điều hoà xung quanh O với tần số góc

mL

Bl





, biên độ dao động

Bl

mL v

Nhận xét: Trong bài toán trên có cả năng lượng từ trường và cơ năng, trong đó có sự biến đổi qua

lại giữa hai dạng năng lượng nhưng tổng năng lượng của hệ được bảo toàn Trong bài toán có sử dụng phương pháp dùng định luật bảo toàn để chứng minh dao động điều hoà Trong phương pháp này ta phải tìm tất cả các dạng năng lượng mà hệ có, lí luận để thấy tổng năng lượng của hệ được bảo toàn; sau đó lấy vi phân phương trình bảo toàn năng lượng, kết hợp với các lên hệ khác để ra phương trình tổng quát cho dao động điều hoà: x"  2 x  0 .

Bài 5 Một mạch khác có sự chuyển hoá giữa năng lượng từ trường

và cơ năng: Trong mặt phẳng nằm ngang cho hệ như hình vẽ: cuộn

dây có độ tự cảm L, điện trở không đáng kể; thanh dây dẫn MN khối

lượng m, chiều dài l có điện trở không đáng kể, đầu M có thể quay

không ma sát quanh trục qua M, đầu N luôn tiếp xúc với thanh ray dẫn

điện xy và có thể trượt không ma sát trên thanh ray

Hệ được đặt trong từ trường đều, vectơ cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng của mạch điện

Bỏ qua điện trở tiếp xúc, điện trở của dây nối và điện trở của thanh ray Thanh MN đang đứng yên,

ta truyền cho đầu N của thanh vận tốc ban đầu v0(đủ nhỏ) như hình vẽ Tìm quy luật chuyển động của thanh MN

Lời giải:

Khi thanh dây dẫn MN chuyển động trong từ trường trong

thanh xuất hiện suất điện động cảm ứng e1

Chọn chiều dương của dòng điện trong mạch như hình vẽ,

chiều dương góc quay ngược chiều kim đồng hồ

Giả sử tại thời điểm t vận tốc góc của thanh là , trong khoảng thời gian dt góc quay của thanh là d Khi ấy từ thông qua mạch biến thiên trong khoảng thời gian dt là:

dt Bl d

Bl

2

1 2

1









2

2 1

Bl dt

d

Suất điện động cảm ứng e1 làm phát sinh trong mạch một dòng điện i Dòng điện biến thiên i lại

làm xuất hiện suất điện động tự cảm e2 trong cuộn dây:

'

dt

di L

Theo định luật Ohm: uMN = e1 = - e2

Do đó ta có: '

2

2

Li

Bl





(5.2)

Vì bỏ qua mọi ma sát và sức cản, bỏ qua mọi hao phí do toả nhiệt nên tổng năng lượng của mạch

bao gồm động năng của MN và năng lượng từ trường trong cuộn dây được bảo toàn:

2 2

2

1 2

1



M

I Li

3

1

ml

I M  là mômen quán tính của MN đối với trục quay qua M

Lấy đạo hàm 2 vế của (5.3) theo thời gian ta được:

0 ' '

' Li iI M 

Thay (5.2) vào (5.4):

0 ' 2

. 2 I M 

L

Bl Li

2

2



I M 

i Bl

(5.5)

2

Li

Bl





 ' 2 2 i"

Bl

L



Thay (5.6) vào (5.5):

 2 " 0

3

2 2



Bl

L ml i Bl

4 3

mL

l B

i

(5.7) Phương trình này có nghiệm là một hàm dạng sin:

) sin(

0   

Với

L I

Bl mL

l B

M

2 4





 ,  là một hằng số, phụ thuộc vào gốc thời gian, I0 là cường độ dòng

điện cực đại

) sin(

2

3 2

3

"

2

m

BI i

m

B i

Bl

L



Lấy tích phân ta được:

) cos(

2

3 0









m

BI



Tại thời điểm t = 0:

l

v0

0 

 và i 0 = 0



l

v m

cos 2

3





 và I0 sin   0

  = 0 và

L

m v Bl

mv I

3 3

2

0 0

0   

l

v



 0 cos



Gọi góc hợp bởi thanh MN với vị trí ban đầu là , ta có:  '  

l

v

m 







 0 sin  sin

Với biên độ góc của dao động

3

2

2 0

Bl

v l

v





Vậy: Thanh MN dao động điều hoà quanh vị trí ban đầu với vận tốc góc

L I

Bl

M

2

2



góc m tính theo (5.10)

Nhận xét: Đây cũng là một bài toán có cả năng lượng từ trường và cơ năng, nhưng động năng của

hệ là động năng quay được tính theo biểu thức 2

2

1



M

I

K  , I là momen quán tính của vật đối với trục quay,  là vận tốc góc của vật đối với trục quay ấy

II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1 Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E và điện

trở trong r; cuộn dây có hệ số tự cảm L và điện trở thuần R; điện trở thuần có

giá trị R0 Ban đầu khoá K mở Đóng khoá K, tìm quy luật biến đổi của dòng

điện trong mạch điện và hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây

Đáp số:



















  









e R R r

E

R R

r 0

0

1

i R r E

u AB   (  0)

Bài 2 Một mạch dao động LC gồm một tụ điện và một cuộn dây được nối với một bộ pin có suất

điện động E, điện trở trong r qua một công tắc K Ban đầu K đóng Khi dòng điện đã ổn định, người ta mở công tắc và trong mạch có một dao động điện từ với chu kì T

Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu tụ điện lớn gấp n lần suất

điện động E của bộ pin Hãy tính theo T và n độ tự cảm L của cuộn dây và

điện dung C của tụ điện

Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây

Đáp số:

nr

T C



2



2

Tnr

L 

Bài 3 Cho mạch điện như hình vẽ: các cuộn dây có hệ số tự cảm L1

và L2, điện trở thuần không đáng kể; nguồn điện có suất điện động E

và điện trở trong r; R là điện trở thuần

a) Ban đầu cả hai khoá đều mở Người ta đóng khoá K1 và khi

dòng điện trong L1 đạt giá trị I0 thì đóng K2

Tính các giá trị cuối cùng I1 và I2 khi đã ổn định của các dòng điện i1 và i2 trong hai cuộn dây b) Xét trường hợp đồng thời đóng cả hai khoá Tính các giá trị cuối cùng I1 và I2

Đáp số: a)

) )(

(

) (

2 1

2 0

1 1

L L R r

EL r R I L I









) )(

(

) (

2 1

1 0

2

L L R r

L r R I E I











2 1

2 1

L L R r

EL I





2 1

1 2

L L R r

EL I







Bài 4 Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện có suất điện động E, điện trở trong r; cuộn dây

thuần cảm, có độ tự cảm L; thanh kim loại MN khối lượng là m, chiều dài l , điện trở không đáng

kể có thể trượt không ma sát dọc theo 2 thanh ray x, y Hệ thống được đặt trong một mặt phẳng nằm ngang trong một từ trường đều cảm ứng từ B hướng thẳng đứng xuống dưới

Ban đầu khoá K đóng Khi dòng điện trong cuộn dây ổn

định người ta ngắt khoá K Hỏi thanh MN sẽ chuyển động như

thế nào ?

Bỏ qua điện trở của các thanh ray và điện trở tiếp xúc giữa

MN và các thanh ray

LG:

K đóng: Ban đầu Dòng điện do nguồn sinh ra trong MN là I0 E

r

 (vì cuộn cảm cản trở dòng điện nên dòng điện chỉ qua MN)

Thanh MN chuyển động đều do lực cản điện từ: Bv l E0 

 0

E

v

Bl

Lúc này dòng điện cảm ứng qua cuộn cảm bằng I0, có chiều C D, còn dòng điện trong MN lại bằng 0

Khi ngắt K: Tổng năng lượng trong mạch bảo toàn: 2 2 20 20

Đạo hàm theo thời gian  Lii ' mvv ' 0  (*)

Suất điện động cảm ứng trong MN là eMN Bvl

Suất điện động cảm ứng trong cuộn dây là etc Li '

 Bvl = Li’ (**)

 (*) tương đương:

2 2

B l i" i 0 mL

 i dao động điều hoà với tần số góc Bl

mL

 

Từ (**)  xMN cũng dao động điều hoà với cùng tần số góc

Từ điều kiện ban đầu 

 Biên độ dao động max

2 2 2

A



Bài 5 Cho mạch điện như hình vẽ: Cuộn dây thuần cảm, hệ số tự cảm L; thanh

dẫn điện MN khối lượng m, chiều dài l, điện trở không đáng kể, MN có thể trượt

không ma sát dọc theo hai thanh ray siêu dân x và y đặt song song trong một mặt

phẳng thẳng đứng Bỏ qua ma sát và điện trở tiếp xúc giữa MN và hai thanh ray

Ban đầu MN được gữ đứng yên, sau đó được thả tự do Trong quá trình

chuyển động MN luôn tiếp xúc với x, y Hỏi MN sẽ chuyển động như thế nào ?

Coi hai thanh ray đủ dài và gia tốc rơi tự do g là không đổi

Đáp số: MN dao động điều hoà quanh VTCB ở dưới vị trí ban đầu 0 2 2

l B

mgL

x 

Tần số góc của dao động:

mL

Bl





Bài 6 Trong mp thẳng đứng đặt hai thanh ray song song và cách nhau một

khoảng l hai đầu dưới của thanh đươci nối với nhau bằng một tụ điện có điện

dung C Một thanh dẫn có khối lượng m được đặt nằm ngang và luôn tiếp xúc

điện với hai ray Thanh dẫn được giữ nhờ một lò xo có phương thẳng đứng

Đầu trên của lò xo cố định tại điểm I nằm trong mp của hai ray Hệ được đặt

trong từ trường đều có cảm ứng từ B, các đường sức từ vuông góc với mp

chứa hai ray (hình vẽ) Bỏ qua ma sát Dịch chuyển thanh dẫn một đoạn nhỏ

theo phương song song với hai ray rồi thả nhẹ Chứng tỏ rằng thanh dẫn dao

động điều hoà Tìm chu kì dao động