Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƯƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lượng bi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy Vương

Thông, Thày đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận với đề tài: “Bài toán có đại lượng biến thiên và

ơn !

Em xỉn chân thành cảm ơnỉ

Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Bùi Thỉ Mai

LỜI CẢM

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính sức lực của bản thân tham khảo tài liệu Đe tài của tôi chưa được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác.

Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Bùi Thị Mai

LỜI CẢM

MỤC LỤC

LỜI CẢM

và chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Trong

đó toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng Đại số, là một phần ừọng yếu của Toán học Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu vào lĩnh vực đại số Đặc biệt là những bài toán có đại lượng biến thiên, nó không chỉ gặp ở phổ thông mà còn ở các bậc cao hơn

Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƯƠNG

THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lượng biến

thiên và phương pháp giải”

2 Mục đích nghiền cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1: XÉT TRONG TOÁN sơ CẤP

1 Hàm số chứa tham số

LỜI NÓI

5

1.1 Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm sổ

Cho họ hàm số y = /(x,m) m € D là tham số, X- đối số Khi gán cho

m các giá trị cụ thể, ta có một hàm số cụ thể và có đồ thị tương ứng

Khi m thay đổi, do đó đồ thị cũng thay đổi theo.Từ đó,các điểm trên mặt phẳng chia làm các loại sau:

i Điểm mà mọi đồ thị đi qua gọi là điểm cố định của họ đồ thị hàm số

ii Điểm trên mặt phẳng không có đồ thị nào của họ đi qua

iii Điểm trên mặt phẳng có một số đồ thị đi qua

- Thuât toán:

Bước 1: Đưa /(x0,m) - y0 về đa thức với biến m Giả

sử M0(x0 yo) là điểm cố định của hàm số Khi đó

Яо(*о.Уо)

= ° «l(Wo) = 0

*

М Х 0’Уо) = °

Bước 2:Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm (xo,yo) thì họ hàm số

có bấy nhiêu điểm cố định

Bước l:Gọi ( Xo, Уо) là điểm càn tìm, khi đó ta có:

Chứng minh rằng các tiệm cận xiên của họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố địnhvới mọi m?

Bài 2: Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ hàm số

Viết vế ừái dưới dạng đa thức ẩn m, giả sử là:

ữo(xo) + ữi(xo)m + + a n (xo)m k = 0

Bước l:Phương trình trên có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi vế trái là đa thức không

Tìm y0: cho m giá tri cụ thể thuộc D, thay Уо = /(x0, m), từ đó ta tìm được điểm A o ( x o , Уо)

- Ví dụ minh họa:

■ •

Cho họ hàm số

у = X 3 - (m + l)x2 - (2m2 - 3m + 2 )x +2m(2m -1), m là tham số (Cm)

Tìm điểm cố định của hàm số trên

2x0 Xo = 2, Уо = 0 Vậy (Cm) luôn đi qua một

LỜI NÓI

1

1.1.2 Tìm các điểm mà họ hàm sổ không đi qua

- Cơ sở lý luận:

Giả sử A0(x0, Уо) là điểm ừong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ hàm số у =/(x, m) đi qua Suy ra phương trình Уо = /(x0, m) vô nghiệm đối với ẩn m Khi đó ta có được mối liên hệ Xo, Уо- Từ đó, ta tìm được AQ(X0, УО) mà họ hàm số không đi qua

J*0 +Уо =°

LỜI NÓI

1

[-*0 — ^0^0 — 2 ^ 0Tứclàxo^-yo^il

Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng y = -X, bỏ đi hai điểm (1;-1) và (-1 ;1)

Ví du 2

Cho hàm số

y = (m - 2)x2 - 2(m +l)x + m + 1 (Cm)Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đường nào của

Tìm các điểm mà họ đó không đi qua với mọi m?

1.2Bài toán tìm quỹ tích một ỉoại điểm

* Phương pháp hàm số

- Cơ sở lý luận

Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiêncủa hàm số /(x, m) trên D rồi biện luận để tìm đượcgiá ừị của tham số

m để tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu

Dựa vào quy tắc thứ hai tìm cực đại, cực

tiểu Nếu / (x0) = 0 và

a) Nếu / (x0) < 0, thì y = / (x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu / (x0) > 0, thì y = / (x) đạt cực tiểu tại x0

Thì y đổi dấu từ - sang + khi X chạy qua giá trị 0

Do đó hàm số đã cho chỉ có cực tiểu (tại X = 0) và không có cực đạiNếu Л > 0 hay

™ Л - Л И - ™ ^1 + V7

m < — h o ặ c m >

g(x) có hai nghiệm phân biệt Xi, x2 Neu hai nghiệm này khác 0 thì у = 0

có ba nghiệm phân biêt và у đổi dấu từ + sang - khi X đi qua nghiệm thứ hai, như vậy hàm số có cực đại

Vì vậy trong trường hợp này để у không có cực đại thì trong hai nghiệm của g(x) phải có một nghiệm bằng 0, tức là g(0) = 0 Điều này chỉ xảy ra khi m = -1

Vậy các giá tri của m là

a) Khi m >0 điểm cực đại I của đồ thị có tọa độ

X = О, у = m2 - 2m = (m - l)2 - 1 Nếu m thay đổi tò 0 đến +00 thì (m - l)2 - 1 thay đổi từ -1 đến +00 Vậy điểm I chạy ừên trục tung qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -1

b) Khi m < 0 điểm cực đại I có toạ độ

X = 2, у = m 2 + 6m = (m + 3) 2 - 9 Nếu m thay đổi

từ 0 đến -00 thì (m + 3)2 - 9 thay đổi từ -9 đến +00 Vậy điểm I chạy trên đường thẳng X = 2, qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -9.Như vậy quỹ tích điểm I là

Nửa trục tung, gồm các điểm có tung độ у > -1

Nửa đường thẳng X = 2, gồm các điểm có tung độ у > -9

Bài tập áp dụng Bài 1 : Cho họ hàm số y = X3+mx2, m là tham số

Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị

Bài 2 : Cho hàm số Y = +( +l)-*m + : m ^ grá tri nào của m thì hàm

x + m

số có cực đại,cực tiểu Tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của đồ thị

LỜI NÓI

1

1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham sổ

Khi đó ta kí hiệu M = maxx e D/(x)

Mặt khác, số m gọi là giá tri bé nhất của /(x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

số

Rất nhiều trường họp, việc tìm GTLN, GTNN của hàm số gặp không ít khó khăn, thậm chí không tìm được Tuy nhiên, chúng ta mong muốn biết được một số tính chất nào đó của GTLN, GTNN

Vì vậy, với dạng GTLN, GTNN của hàm số mang tính định tính thông qua các giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt của hàm số

Ta có

l + sin2jc _ (sinjc + cosjc) 2 _ (1 + tanjc) 2 l-sin2.x (sinjt-cosx) 2 (l- tanx) 2

a) Nếu < 1 thì m < 1 ta lập bảng biến ứiiên

Vậy mini<t<+oa F(t) = F(l) = 0 minxeDf(x) = 0

b) Nếu m + 1 > 1 hay m > 1 ta có bảng biến thiên

t -oc M + Ỉ Ị +QC 2

M = X 2 +y 2 - xy = ( X 2 + y 2 + xy) - 2xy = 3 - 2[( 2- a)2 - 3] = -2a2 + 8a + 1 Xétf(a) = -2a2 + 8a + 1

f (a) = -4a + 8;f(a) = 0 a = 2 f(2) = 9;f(0) = l;f(4) = l

Do đó GTNN của M là 1, đạt được khi a = 0 hoặc a = 4 GTLN của M là

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số f(x) = I4ax3 + 2bx2 + ( l-3a )x - b I

Trong đó a; b là các số thực tùy ý Gọi M =maxxe[_ii]f(x)

CMR M > —

2

Bài 2: Giả sử M là giá trị lớn nhất của |b| sao cho

4bx3 + (a - 3b )x < 1, với mọi giá trị X e [-1 ; 1 ] và với mọi số thực a CMR M < 1

Bài 3: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ

ịx+ y = 2-a [x 2 +

y 2 + xy = 3

Tìm a để biểu thức M =x2 + y2 + xy đạt GTLN, GTNN

2 Phương trình chứa tham số

2.1 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x; m) = 0 có nghiệm trên D

* Phương pháp đặt ẩn phụ

- Cơ sở lý luận:

Nhiều khi để giải một phương trình tham số, nếu sử dụng biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả sẽ dẫn đến các phương trình phức tạp hơn phương trình ban đầu Đe khắc phục tình trạng đó, chúng ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình dạng quen thuộc mà

ta đã biết cách giải

- Thuât toán:

Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện của ẩn phụ Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của phương trình này

Bước 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩnphụ

Phương trình đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t >

3(2) có môt nghiêm lớn hơn bằng —

43(2) có hai nghiêm lớn hơn bằng —

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m < 27

* Phương pháp hàm sổ -Cơ sở lý luận

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán rất quen thuộc trong chương trình phổ thông Ta có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình chứa tham số

Bước 1: Lập bảng biển thiên của hàm số y =f(x).

Bước 2: Dựa vào bảng biển thiên ta xác định m để đồ thị hàm sổ y = g(m) cắt đồ thị hàm sốy =f(x).

Chú ý: Nếu đồ thị hàm sổ y =f(x) liên tục trên D và m = mỉn X€D fịx)

M = max x£ rf(x) thì phương trình f(x) = k có nghiệm om <k<M.

- Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Xác định tất cả các giá tri của m để phương trình sau có nghiệm

yj(x +1)(3 - x) = X 2 - 2x + 2>m ĐK (x+l)(3-x) > 0 <=> -1 < X < 3 Đặt t = yl(x + l)(3-x)

Ta có (x +l)(3-x) = 4 - (x-1)2< 4 => 0 < t < 2

Mặt khác ta có

= > X 2 - 2 X + 3m = - (x+l)(3-x) + 3+3m = -t2 + 3+ 3m Vậy bài

toán trở thành tìm m sao cho phương trình

t = -t2 + 3 + 3m có nghiệm thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2 Hay f(t) = t2 +1 - 3 = 3m có nghiệm với mọi 0 < t < 2

Xét hàm f(t) có /'' (í) = 2 t +1 > 0 Vt e [0 ;2] Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra -3 <3m < 3 ^ - l < m < l l à giá tri cần tìm Ví

du 2 : Xác định m để phương trình sau có nghiệm

cắt (C): y = -t 2 + 2t+ 1,t>0

Dựa vào bảng biến thiên ta có m < 2.

Bài tập vận dụng

Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

- \ J X 2 + x + 1 — y j x 2 — J t + 1 = r a Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có

nghiệm

V X 4 — Ì3x + m + x — ì — 0 (1)

2.2Tìm điều kiện của tham sổ m để phương trình f(x,m) = 0 thỏa mãn môt

sổ điều kiên nào đó trên D

• •

- Cơ sở lý luận

Trong các bài toán về phương trình ta gặp khá nhiều bài toán chứa tham số với yêu càu: "Tìm điều kiện đổi với tham sổ để phương trình

đã cho thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc nào đó ”.

Trong số các cách giải bài toán trên việc tìm điều kiện cần cho tham số thỏa mãn điều kiện ràng buộc là rất càn thiết Thông thường các biểu thức giải tích có trong phương trình ẩn dấu một tính chất nào đó Ta cần phát hiện,

và khai thác tính chất ấy để tìm ra mối quan hệ đặc biệt, hoặc một ràng buộc đối với tham số Từ đó tìm ra điều kiện càn, đây là chìa khóa để giải quyết bài toán.

- Thuât toán:

Để giải bài toán dạng này ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: (Điều kiện cần) Nhận xét về tỉnh chất nghiệm của phương trình,

từ nhận xét đó và điều kiện ràng buộc suy ra các giá trị của tham

Điêu kiện cân:

Giả sử (1) có nghiệm là X = Xo suy ra

lx0 - a I + lx0 - b I = с <=> l(a + b - Xo ) - а I + l(a + b - Xo) -b I = с

(2) <=> a < X < b,tức là (2) không có nghiệm duy nhất

* Nếu a = b khi đó

(2) (x - а) 2 < 0 <=> X = a là nghiệm duy nhất của phương trình Vậy với с

= о, a = b phương trình có nghiệm duy nhất.

với x2 = 1 tìiay vào (1) ta được

11 -m =0 «>m= 11 Đó là điều kiện càn để (1) có 3 nghiệm lập thành

Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

3 Bất phương trình chứa tham sổ

3.1Tìm điều kiện của tham sổ m để bất phương trình f(x ;m) > 0 có nghiệm trên D

* Phương pháp hàm số

- Cơ sở lý luận:

Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số f(x ;m) trên D rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta tìm được giá trị của tham số m

- Thuât toán:

* Bất phương ừình f(x ;m) > 0 có nghiệm trên D

maxxeDf(x ;m) > 0 *Bất phương trình f(x ;m) < 0

có nghiệm ừên DminxsDf(x ;m) < 0

X + 2

Từ đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi M <

Ví dụ 2 : Xác định m để bất phương trình

m9x - 3X - 1> 0Nghiệm đúng với mọi X Bài giải Đặt t = 3X, t > 0

Vậy bất phương trình nghiệm đúng Vt > 0 <=> m >

* Bất phương trình đúng với mọi X eD

* Bất phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương

trình khác

- Thuật toán:

Bảng biến thiên

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để các biầi thức của bất phương trình có nghĩa Bước 2: (Điều kiện cần) Tìm điều kiện cần cho bất phương trình dựa vào tính chất nghiệm, ràng buộc của đề bài, suy ra các giá trị của tham số m Bước 3: (Điều kiện đủ) Với giá trị tìm được của tham sổ cần chứng tỏ rằng bất phương trình thỏa mãn điều kiện rầng buộc Bước 4: Kết luận

Điêu kiện cân :

Giả sử bất phương trình đúng với mọi -4<x<6 Nói riêng nó phải đúng khi x= 1 tức là ta phải có

m- 1 >5 <=>m>6

Điều kiên đủ:

Điêu kiên cân :

Bất phương trình sau đúng Vxe [-1 ;3]

Bài 2: Tìm a để bất phương trình X + Y L X 2 - 2 A X >1 chứa đoạn — ^ X < 1

Bài 3: Tìm a sao cho bất phương trình

Bước 2: Xét hệ trục tọa độ OXY

* Biểu diễn những điểm M(x;m) thỏa mãn các bất phương trìnhtrong (I) Giả sử

các tập X j ; X 2 ; ;X n

*Xác định miền X = X 1 nX 2 n nX n

Chiếu vuông góc tập X lên trục Y, giả sử được I m

Bước 3:Khi đó Để hệ vô nghiêmom0 I m Để hệ vô

nghiệm Ome I m

Đe hệ có nghiệm duy nhất <^> thỏa mãn m =a cắt tập X tại đúng một đỉểm(alà một giá trị tham sổ).

nghiệm đúng với Vx điều

kiện là (P) ở phía trên của

(V)

(

đường thẳng 3; = - 2 X + M Ở

phía dưới (d ) hoặc trùng (d )

v ậ

n d ụ n

g B

ài

1 : T ì

m

m đ

ể b

ất p h ư

д/(4 + x)(6 — X) = X - 2 X +

M

4 Hê chứa tham số

* Phương pháp đồ thị:

- Cơ sở lý luận:

Phương pháp này dựa trên những yếu tố hình học của hàm số đã tiềm

ẩn trong các bài toán đưa ra (nhưng nhìn chung chúng không được thể hiện một cách tường minh, hoặc phải sau những phép biến đổi mới phát hiện ra chúng) Đặc điểm của phương pháp này là khi đã có một cách nhìn "hình học", thì lời giải của bài toán sẽ sáng sủa, đơn giản hơn Tất nhiên cũng như mọi phương pháp giải toán khác, phương pháp hình học không phải là thích hợp cho mọi bài toán giải và biện luận hệ chứa tham số

Do đó ở đây ta chỉ xét một số dang sau:

Các điểm thỏa mãn bất phương trình (1) nằm bên trong đường tròn tâm Oi(l,l), bán kính V2 (kể cả có biên) Các điểm thỏa mãn phương trình (2) thuộc đường thẳng (d): X - y + m = 0 Vậy hệ nghiệm đúng với mọi X

Ở đây ta chỉ xét trường họp m > 0 (vì m < 0 hệ bất phương trình vô nghiệm) khi đó ta có biểu diễn hình học

Các điểm thỏa mãn bất phương trình (1) nằm bên ừong đường tròn

y = x

• Các điểm thỏa mãn bất phương trình (2) nằm bên trong đường tròn tâm

0(0,0), b không V2 (kể cả biên) giao điểm của đường ừòn tâm (O) và

Parabol(P) là điểm A(-l,l) Khi đó đường tròn tâm (O) giao với (P) là

phần gạch như hình vẽ

Các điểm thỏa mãn bất phương trình (3) nằm trên đường thẳng

X - y -m = 0

• (d) đi qua A =^> m = -2

• (d) tiếp xúc với (O) => m = 2

Vậy hệ có nghiệm khi (d) cắt phần gạch <=> -2 < m < 2

Vậy -2 < m < 2 hệ có nghiệm

Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

(x + ì) 2 + y 2 <m (1)

<

X 2 + ( y + 1 ) 2 < m ( 2 ) Bài 2: Biện luận theo m số nghiệm của hệ:

( Ở đ â y X l à b i ế n , m l à t h a m s ố ; D x ; D m t ư ơ n g ứ n g l à c á c

m i ề n x á c đ ị n h của X và m Ta càn tìm điều kiện đặt lên tham số m để

hệ (I) (hoặc (II)) thỏa mãn một tính chất p nào đó

- Thuật toán:

Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải (I) (hoặc (II)) được tiến hành theo 2 bước

Bước 1: (Điều kiện cần) Giả sử hệ (I)hoặc (II) thỏa mãn tỉnh chất p

mà đầu bài hỏi Dựa vào đặc thù của tính chất p và dạng của sổ /ịx ;m), của miền xác định D x mà ta tìm được một ràng buộc nào đó đối với m Ràng buộc ẩy chính là điều kiện cần để thỏa mẫn tỉnh chất p, và giả sử

nó có dạng m еОщС D m Điều đó có nghĩa là : Nếu mo 0Qn, thỉ chắc chắn ứng với giá trị mo, hệ( I) hoặc hệ (II) không có tỉnh chất p.

Bước 2: (Điều kiện đủ) Giả sử m e£2 m Ta phải tìm xem trong các giá trị ẩy của m, giá trị nào làm cho hệ (I) hoặc (II) thỏa mãn tính chất p Nói chung ở bước 2, ta chỉ phải xét các hệ cụ thể Dựa vào đặc trưng của các hệ ẩy, ta vận dụng các ìàển thức cần thiết về lỷ thuyết phương trình, bất phương trình để giải chúng Kết quả của phép giải sẽ cho ta loại đi khỏi tập Í2 m các giả trị không thích hợp của m.

Kết hợp cả 2 bước, ta tìm lời giải của bài toán đã cho.

- Ví du minh hoa:

• •

Ví dụ 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

2 2 ( ! ) [X + у = m

Bài giải

1\ IẠ 1 «Л Ạ

Điêu kiên cân

Nhận xét rằng hệ có nghiệm (xo,yo) => (-xo,yo) cũng là nghiệm