Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.. Tính theo a chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón Câu V 1,0 điểm.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 143 )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : 2
1
x y x
−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d: y= − +x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Câu II (2,0 điểm ).
1 Giải bất phương trình : 4 4 2
16 6 2
x x
2.Giải phương trình: 2cos 1cos (2 ) 8 sin 2 3cos( ) 1sin2
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân:
x
e dx I
=
∫
Câu IV (1,0 điểm).
Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là O. A B, là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a, ·ASO SAB= · = 60 0 Tính theo a chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón
Câu V (1,0 điểm).
Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: ( 3 3 3)
2
b c c a a b
a b c
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a(2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x2+y2− 4x− 2y+ = 1 0 và điểm A(4;5) Chứng
minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T 1 , T 2 , viết phương trình đường thẳng T 1 T 2
2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
x +y + −z x+ y+ z− = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:
z i− = − −z 2 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
B Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d:
2 2x y− − 2 2 0 = và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết
phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
Câu VII.b(1,0 điểm) Cho hàm số (Cm ):
2
1
x x m y
x
− +
=
− (m là tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm
phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C m ) tại A, B vuông góc
Trang 2……….Hết………
Diemthi.24h.com.vn
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012
Mơn thi : TỐN ( ĐỀ 143 )
PHẦN
C
H
U
N
G
(7 điểm)
thành phần
Câu I
2 điểm
a) (1điểm) D=R/{ }1
1 (x 1)
=
− > 0 ,∀ ∈x D⇒h/số đồng biến trên D và khơng cĩ cực trị
Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1
Tâm đối xứng I(1;1)
BBT
x - ∞ 1 + ∞
y’ + +
y
+ ∞ 1
1 - ∞
Đồ thị
f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x y
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
b) (1 điểm)
* Phương trình hồnh độ giao điểm của d ( ) ∩C là:
x2 −mx m+ − = 2 0 (1) ; đ/k x≠ 1
Vì
f
∆ = − + >
0,25 điểm
Trang 3∀ Suy ra d ( ) ∩ C tại hai điểm phân biệt với ∀m
*Gọi các giao điểm của d ( ) ∩ C là: A( ;x A − +x A m) ; B( ;x B − +x B m);với x ; A x B
là các nghiệm của p/t (1)
[
2
Vậy : ABmin= 2 2 , đạt được khi m = 2
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
II.1
(1 điểm) * Đk:
4 0
4 0
x x
+ ≥
− ≥
⇔ x ≥ 4 Đặt t = x+ +4 x−4 (t > 0) BPT trở thành: t2 - t - 6 ≥ 0 ⇔ ≥t t≤ −32( )L
* Với t ≥ 3 ⇔ 2 2
16
x − ≥ 9 - 2x
( )
a
b
≥
≥
>
x 4
9 - 2x 0
x 4
9 - 2x
* (a) ⇔ x ≥ 9
2
* (b) ⇔ 145 9
36 ≤ x < 2
*Tập nghệm của BPT là: T= 145;
36
+∞÷
0,25
0,25
0,25
0,25
II.2
(1
điểm
)
π
2 osx+c
7
6 osx(1-sinx)-2(sinx-1)(sinx- ) 0
2
c
(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0
(2)
1 sinx=0 6cosx-2sinx+7=0
−
⇔
(p/t (2) vô nghiệm )
Trang 4(1 điểm) x = ln3 ⇒ t = 1
ex = t2 + 2 ⇒ e2x dx = 2tdt
* I = 2
1 2 2 0
1
t tdt
t t
+ + +
1
2 0
1
t
t t
+
− +
+ +
∫
* = 2
1
0
( 1)t− dt
2 0
1
d t t
t t
+ + + +
∫
* = ( 2 1
2 ) 0
t − t + 2ln(t2 + t + 1)10= 2ln3 - 1
0,25 0,25
0,25
Câu IV
AB, nên OI =a Đặt OA R=
· 60 0
·
ASO
Tam giác OIA vuông tại I nên OA2 −IA2 =IO2
2
2
SA a
2
a
2
xq
a
0,25
0,25 0,25 0,25
V
(1 điểm)
* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 ≥ a2b + ab2 (*)
Thật vậy: (*) ⇔ (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) ≥ 0
⇔ (a + b)(a - b)2 ≥ 0 đúng
Đẳng thức xẩy ra khi a = b
* Từ (*) ⇒ a3 + b3 ≥ ab(a + b)
b3 + c3 ≥ bc(b + c)
c3 + a3 ≥ ca(c + a)
⇒ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:
0,25
0,25
S
Trang 53
1
a + 3
1
a + 3
1
a ≥ 33
3 3 3
1 1 1
abc (2)
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c
0,25
0,25
VI.a.1
(1 điểm)
* Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2
Ta có IA = 2 5 > R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (C)
* Xét đường thẳng ∆ 1: x = 4 đi qua A có d(I;∆1) = 2 ⇒ ∆1 là 1 tiếp
tuyến của (C)
* ∆ 1 tiếp xúc với (C ) tại T1(4;1)
* T1T2 ⊥ IA ⇒ đường thẳng T1T2 có vtpt nr= 1
2 IA
uur
=(1;2) phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1)
⇔ x + 2y - 6 = 0
0,25
0,25 0,25
0,25
VI.a.2
(1 điểm) * Mp(P) có vtpt
P n
ur
= (1;1;-2)
(S) có tâm I(1;-2;-1)
* IAuur = (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng ∆ là u∆
ur
∆ tiếp xúc với (S) tại A ⇒ u∆
ur
⊥ uurIA
Vì ∆ // (P) ⇒ u∆
ur
⊥ nurP
* Chọn uur0= [IAuur,nurP] = (-4;6;1)
* Phương trình tham số của đường thẳng ∆:
3 4
1 6 1
z t
= −
= − +
= +
0,25
0,25
0,25 0,25
VII.a
(1 điểm)
* Đặt z = x + yi (x; y ∈R)
|z - i| = |Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* ⇔x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là
đường thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất ⇔ |OMuuuur| nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆
* ⇔ M( 3
5;-6
5) ⇒ z = 3
5-6
5i
Chú ý:
HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
0,25
0,25 0,25 0,25
VI.b.1
(1 điểm)
* B = d ∩Ox = (1;0)
Gọi A = (t;2 2 t - 2 2) ∈ d
H là hình chiếu của A trên Ox ⇒ H(t;0)
H là trung điểm của BC
* Ta có: BH = |t - 1|; AB = ( 1)t− 2 + (2 2t− 2 2) 2 = 3|t - 1|
0,25
Trang 6∆ABC cân tại A ⇒ chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|
* ⇒ 16 = 8|t - 1| ⇔ = −t 3t= 1
* Với t = 3 ⇔ A(3;4 2), B(1;0), C(5;0) ⇒ G(3;4 2
Với t = -1 ⇔ A(-1;-4 2), B(1;0), C(-3;0) ⇒ G(− 1; 4 2
3
0,25 0,25
0,25
VI.b.2
(1 điểm)
* Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ∆ABC
⇒ d là giao tuyến của (ABC) với (α) qua A và vuông góc với
BC
* Ta có: uuurAB= (1;3;-3), uuurAC= (-1;1;-5) , BCuuur= (-2;-2;-2)
[uuurAB, uuurAC] = (18;8;2)
mp(ABC) có vtpt nur = 1
4[uuurAB, uuurAC] = (-3;2;1)
mp(α ) có vtpt nur' = -1
uuur
= (1;1;1)
* Đường thẳng d có vtcp uur =[nur, nur' ] = (1;4;-5)
* Phương trình đường thẳng d:
1
2 4
3 5
x t
= +
= − +
= −
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b
(1 điểm)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox:
2
1
x m x
− +
−
x
= 0 ⇔
− + =
≠
x
x 1
(Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ pt f(x) = x2 - x + m = 0 có 2
nghiệm phân biệt khác 1
(1) 0
f
∆ >
1 4 0
m m
<
≠
(*)
* Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm của f(x) = 0 ⇒ 1 2
1 2
1
m
f x x x f x
x
− − −
−
⇒ Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A và B lần lượt là:
k1 = y'(x1) = 1 1 1
2 1
f x x f x x
− −
1 1
'( )
f x
x − =
1 1
2 1
x
x −
0,25
0,25
Trang 7* Tương tự: k1 = y'(x2) = 2
2
2 1
x
x − ( do f(x1) = f(x2) = 0) Theo gt: k1k2 = -1 ⇔ 1
1
2 1
x
x − .
2 2
2 1
x
x − = -1
* ⇔ m = 1
5( thoả mãn (*))
0,25
0,25