ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6,7,8 CÓ ĐÁP ÁN

phòng Giáo dục & Đào tạo

Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán

Thời gian làm bài : 120 phút

(không kể thời gian giao đề )

Cõu 1: (6,0 điểm)

a) Tớnh tổng: 27.4500 135.550.2

2 4 6 18

b) Chứng minh rằng: 1028 chia hết cho 72.8

c) Khi chia một số tự nhiờn a cho 4 ta được số dư là 3 Cũn khi chia a cho 9 ta được số

dư là 5 Hóy tỡm số dư trong phộp chia a cho 36

Cõu 2: (4,0 điểm)

1 Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 7x + 12y = 50

2 Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để phõn số 1821 73





n

n

cú thể rỳt gọn được

Cõu 3: ( 2,0 điểm)

Tỡm cỏc số nguyờn tố x,y sao cho: x2 + 45 = y2

Cõu 4: (6,0 điểm)

Cho và là 2 gúc kề bự Om là tia phõn giỏc của ; On là tia phõn giỏc của

a) Tớnh

b) Kẻ tia Om’ là tia đối của tia Om Nếu = thỡ cú số đo bằng bao nhiờu độ

c) Vẽ đường thẳng d khụng đi qua O Trờn đường thẳng d lấy 2015 điểm phõn biệt Tớnh số cỏc gúc cú đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kỡ trờn đường thẳng d

Cõu 5: ( 2,0 điểm)

Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:

29

23 17

11





b

a

và 8b - 9a =31

Hết

-(giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)

phòng Giáo dục & Đào tạo Hớng dẫn chấm thi olympic

Đề chính thức

Thanh oai N¨m häc 2014 - 2015

M«n thi : To¸n Líp 6

Câu 1

(6 đ)

Câu a (2 điểm)

Xét tử: 27.4500+135.550.2

= 270.450+270.550

= 270.(450+550) = 270000

Xét mẫu: 2+4+6+…+18 = (2 18).9 90

2



 Suy ra: S = 270000:90=3000

Câu b (2 điểm)

Vì 1028  có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết8

cho 9

Lại có 1028  có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên 8

tổng đó chia hết cho 8

Mà (8,9) = 1

Nên 1028  chia hết cho 72.8

Câu c (2 điểm)

Đặt a = 4q+3=9p+5 (p, q là thương trong hai phép chia)

=> a + 13 = 4(q+4)=9(p+2)

=> a+13 là bội của 4 và 9

Mà (4;9) = 1 => a+13BC(36)

=> a + 13 = 36k (kN*)

=> a = 36k – 13 =36(k-1) + 23

Vậy a chia 36 dư 23

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu 2

(4 đ) 1. Ta có 12

2 = 144 > 50 và y N => 0y 1 => y

73 > 50 và x N => 0 x  2 Với y = 1 => 7x + 121 = 50 => 7x = 38 => không tìm được x Với y = 0 => 7x + 120 = 50 => 7x = 49=72 => x = 2

Vậy x = 2, y = 0

0,5

0, 25 0,5 0,5 0,25

2 Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d

=> 18 n + 3  d, 21n + 7  d => 6( 21n + 7) – 7(18n + 3)  d

=> 21 d => d Ư(21) = { 3 ; 7}

Mà 21n + 7 Không chia hết cho 3 => d ≠ 3

Ta lại có 21n + 7  7 => 18n + 3  7 => 18n + 3 – 21  7

=> 18(n - 1)  7 mà (18; 7) = 1 => n – 1 7 = > n = 7k + 1(kN) Vậy để phân số 1821 73





n

n

có thể rút gọn được thì n = 7k + 1(kN)

0,25 0,5 0,5

0,5 0,25

Câu 3

( 2đ)

x2 + 45 = y2 => y2 > 45 Do đó y là số nguyên tố lẻ

Suy ra x là số nguyên tố chẵn nên x = 2 Từ đó ta có:

y2 = 4 + 45 suy ra y2 = 49 => y = 7

0,5 0,5 1,0 Câu 4

(6 đ)

a.Om là tia phân giác =>

On là tia phân giác =>

0,5

0,5 0,5

=> + = ) = =

b) Om và Om’ là hai tia đối nhau => =

+) < => Oz nằm giữa Om và Om’

=> + = (1)

Mặt khỏc + = (2)

Từ (1) và (2) => =

Mà = = ( vỡ Om là tia phõn giỏc của )

c.Cứ 2 điểm trờn đường thẳng d nối với điểm O được 1 gúc

đỉnh O

=>Cú bao nhiờu đoạn thẳng trờn đường thẳng d thỡ cú bấy nhiờu

gúc đỉnh O

=> Số gúc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kỡ trờn đường thẳng d là :

= 4058210 (gúc)

Vậy cú 4058210 gúc

1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0, 5

Bài 5

(2,0đ)

Tìm a,b  N sao cho 11 23

a b

  và 8b - 9a = 31 8b - 9a = 31  b =

8

8 1 32 8

9

31 a   aa





 N  (a-1)  8  a = 8q + 1(q  N)

b =

29

23 5 9

1 8 17

11 5

9 8

) 1 8 ( 9 31



















q

q q

q

11(9q+5) < 17(8q+1)  37q > 38  q > 1

29(8q+1) < 23(9q+5)  25q < 86  q < 4  q  {2; 3}

q = 2  17

23

a

25 32

a

b 

1,0

1,0

phòng Giáo dục & Đào tạo

Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán

Thời gian làm bài : 120 phút

(không kể thời gian giao đề )

Cõu 1: (6,0 điểm) Tỡm x biết:

Đề chính thức

a

243

1 2

1

















x

b 2x 1  x  1

c 53 21x 52

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng đa thức x2 – 2x + 2 vô nghiệm

b) Cho tỉ lệ thức b a d c Với  23

d

b

Chứng minh:

1) 22b a 33d c 22b a 33d c











2)

bd

ac d b

c a





 2 2

2 2

Câu 3: ( 4,0 điểm)

a) Tìm x biết: x   3 2x  x 4

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 8

3

x B

x





 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4: (5,0 điểm)

Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác định I; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K Chứng minh rằng :

a) AIJ cân

b) DA là tia phân giác của góc LDK

c) BK AC ; CL  AB

d) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất

Câu 5: ( 1,0 điểm)

Tìm x, y thuộc Z biết: 25 y2 8(x 2009)2

Hết

-(giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

N¨m häc 2014 - 2015 M«n thi : To¸n Líp 7

a 21 4 314





























x => x 21 = 31 => x = 65

hoặc x 21 =  31 => x = 61

0,5 0,5 0,5

Câu 1

(6 đ)

Bài 2

( 4đ )

Vậy x = 65 hoặc x = 61

b 2x 1  x  1

Nếu x 21 ta có 2x – 1 – x = 1 => x = 2 (thoả mãn)

Nếu x21 ta có –2x + 1 – x = 1 => x =0 (thoả mãn)

Vậy x = 2 hoặc x = 0

c 53 21x 52

 53 21x52  x52

hoặc 53 12x  52  x 2

Vậy x52 hoặc x 2

a) x 2 – 2x + 2 = x 2 – 2x +1 + 1= ( x- 1 ) 2 +1

Vì ( x- 1) 2  0 với  x nên ( x- 1) 2 + 1  1 với  x Do đó đa thức đã cho vô

nghiệm

b) 1) Với

2

3





d

b

;

d b

c a d b

c a d

c b

a d

c b

a d

c b

a

3 2

3 2 3 2

3 2 3

3 3

3 2

2 2

2























d

c b

a d

c b

a





d b

c a



d

c b

a



bd

ac d

c b

a





2 2

2

( 2 )

Từ 1 và 2 suy ra ĐPCM

0,5

0,75 0,75 0,5

0,75 0,75 0,5

1,0 1,0

1,0

1,0 Bài 3

( 4đ)

a x 3 2x  x 4 (1)

Lập bảng xét dấu:

x -3 4

x + 3 - 0 + +

x - 4 - - 0 + Xét khoảng x < 3, ta có (1) trở thành: -2x = 7  x = -3,5 (thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng   3 x 4 ta có (1) trở thành:

0.x = 1 (Không có giá trị nào của x thoả mãn) Xét khoảng x > 4, ta có (1) trở thành: -2x = -7  x = 3,5 (không

0,5đ

thuộc khoảng đang xét)

0,5đ b

Biến đổi 8

3

x B

x







1

x

 

B đạt giá trị nhỏ nhất  5

3

x  nhỏ nhất

Xét x > 3 và x < 3, ta được 5

3

x  có giá trị nhỏ nhất bằng -5 tại x = 2 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng -6 tại x = 2

0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

Câu 4 : (5 điểm)

Vẽ hình ghi giả thiết, kết luân: 0,5đ

1 2

2 1

J I

K L

B

A

a) Do AB ; AC là trung trực của AB (1đ)

=> AI = AD

AD = AJ => AI = AJ => AIJ cân tại A

b) ALI = ALD (c.c.c) => I1 D1

TT : AKD = AKJ (c.c.c) => D2 J2

Mà AIJ cân (câu a) => I1 J2 (1đ)

=> D1 D2

=> DA là tia p/g của L DK

c) + Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK + Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK Suy ra LC là tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK

Mà AB cũng là phõn giỏc ngoài tại đỉnh L của tam giỏc LDK

Hay CL vuụng gúc với AB tại L

Chứng minh tương tự: BK vụng gúc với AC tại K (1đ) d) CM được I AˆJ  2B AˆC (khụng đổi) (0, 75 đ)

* AIJ cõn tại A cú I ˆ A J khụng đổi nờn cạnh đỏy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bờn AI nhỏ nhất

Ta cú AI = AD AH (AH là đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H (0, 75đ) Vậy khi D là chõn dường vuụng gúc hạ từ A xuống BC thỡ IJ nhỏ nhất

Bài 5: (1 đ)

25 y 8(x 2009)

Ta cú 8(x-2009)2 = 25- y2

8(x-2009)2+y2=25(*)

Vỡ y2 0 nờn (x-2009)2 25

8

 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta cú y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*)

ta cú y2 =25 suy ra y = 5 (do y  )

Từ đú tỡm được (x=2009; y=5)

(0.25đ)

(0.25đ)

(0.25đ) (0.25đ )

phòng Giáo dục & Đào tạo

Năm học 2014 - 2015

Môn thi : Toán

Thời gian làm bài : 120 phút

(không kể thời gian giao đề )

Cõu 1: (6,0 điểm)

1 Cho biểu thức A = 2 3

2 3

1

1 : 1

1

x x x

x x

x

x



























với x ≠ -1; x ≠ 1

a, Rỳt gọn biểu thức A

b, Tỡm giỏ trị của x để A < 0

2 Giải phương trỡnh: x - 30x + 31x - 30 = 04 2

Cõu 2: (4,0 điểm)

1 Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh sau:

2 6 5 8







x

2 Chứng minh rằng nếu m 5 thỡ 4 4



a

m khụng là số nguyờn tố

Cõu 3: ( 3,0 điểm)

Đề chính thức

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, biết:

A = (x-1)4 + (x - 3)4 + 6 (x - 1)2 (x - 3)2

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a Tính tổng : HD HE HF

AD  BE CF

b Chứng minh : BH.BE + CH.CF = BC2

c Chứng minh : H cách đều ba cạnh tam giác DEF

d Trên các đọan HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN

Chứng minh đường trung trực của đoạnn MN luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: ( 1,0 điểm)

Tìm số nguyên n sao cho : 2n3 + n2 + 7n + 1  (2n – 1)

Hết

-(giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o

N¨m häc 2014 - 2015 M«n thi : To¸n Líp 8

Câu 1

(6đ)

1 a) Với x khác -1 và 1 thì :

A= :(1 )(1(1 )(1 ) ) (1 )

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x





















= :(1 (1)(1)(12 ) )

1

) 1

)(

1 (

2

2

x x x

x x x

x x x x



















= ( 1 2 ) :(11 )

x

x



b)Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi ( 1 2 )( 1 ) 0





Vì 1 2 0



x với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1  x 0 1



 x KL:

1,0

2 x - 30x + 31x - 30 = 0 <=>4 2 x - x + 1 x - 5 x + 6 = 02      (*) 0,75

Vì x2 - x + 1 = (x - 1

2)

2 + 3

4> 0  (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 0,75x

x - 5 = 0 x = 5

x + 6 = 0 x = - 6

0,5

Câu 2

(4đ)

















5

8 6 2











x

x x

y (vì x=5 không là nghiệm (2)) ( 1 ) 35











x x

y

vì x,y nguyên nên x-5 là ước của 3  x-5{-1,1,3,-3} hay

x { 4,6,8,2}

Vậy nghiệm phương trình (x,y)=(2,0);(4,0);(6,8);(8,8)

) 2 ( ) 4 4 (

a

=(a2  2  2a)(a2  2  2a)

=[( 2 2 1 ) 1 ][( 2 2 1 ) 1 ]











a

=[( 1 ) 2 1 ][( 1 ) 2 1 ]







a

vì (a 1 ) 2  1 a, (a 1 ) 2  0 a

nên giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 khi a=-1

giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1 nếu a=1

còn các trường hợp khác là tích >1

Vậy ngoài a=1 hoặc a=-1 khi đó m=5 thì có thể phân tích thành

tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên m không thể là số nguyên tố

1đ

1đ

1đ

1đ Bài 3 Đặt a = x - 1, b =3-x ta có a + b = 2

A = a4 + b4 + 6(ab)2 = (a2+b2)2 + 4a2b2

2

2 2 2

a b ab a b

ab a b

a b ab ab

Dấu “=” xảy ra a + b = 2 và ab = 1  a = b = 1

Suy ra x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất A bằng 8 tại x = 2

0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

Bài IV

O

K I

N M

E H F

A

D B

C

a)

(2đ) Trước hết chứng minh:

HD

AD =

S HBC

S ABC

Tương tự có:

HE S HCA

BE S ABC ;

HF S HAB

CF S ABC

Nên

HD HE HF

AD BE CF =

S HBC S HCA S HAB

S ABC



HD HE HF

AD BE CF = 1

0,5 0,5 0,5 0,5

b)

(1,5) Trước hết chứng minh

 BH.BE = BD.BC

Vµ CDH CFB  CH.CF = CD.CB

 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2

(đpcm)

0,5 0,5 0,5

c)

(1,5đ) Trước hết chứng minh AEF  ABC 

AEF ABC

Và CDE CAB  CED CBA 

 AEF CED mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF

Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE

Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF

nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)

0,5 0,5 0,5

d)

(1đ)

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đọan MN

và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c)  OHM OCN (1)

Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:OHC OCH  (2)

Từ (1) và (2) ta có: OHC OHB   HO là phân giác của góc BHC

Vậy O là giao điểm của trung trực đọan HC và phân giác của

góc BHC nên O là điểmm có định

Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O

0,25 0,25

O,25 0,25

Câu 5 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5

Để 2n3 + n2 + 7n + 1  2n - 1 thì 5  2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 0,5



2n 1 = - 5 n = - 2

2n 1 = -1 n = 0

2n 1 = 1 n = 1

2n 1 = 5 n = 3





Vậy: n  2; 0; 1; 3   thì 2n3 + n2 + 7n + 1  2n – 1 0,5

********************

Các bạn có thể tham khảo các tài liệu khác ở đây:

(GIỮ PHÍM CTRL VÀ CLICK VÀO ĐƯỜNG LINH MÀU XANH NÀY):

http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm