2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị C.. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của DE.. 2/ Tính khoảng cách từ O và C đế
Trang 1ĐỀ THI Môn Thi : Toán 11
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu I( 1 điểm): Giải phương trình
(sin 2 sin 4) cos 2 0
x
+
Câu II(2 điểm):
1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3
2/ Tìm số nguyên dương n sao cho:
1 2 2 3 2 2 1
C + − C + + C + − + + C ++ =
Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y= − +x3 3x2−2 (C)
1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= − +9x 2011.
2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( C )
Câu IV(2 điểm):
1/ Chứng minh phương trình :
−2x4+mx3+nx2+ px+2011 0= có ít nhất 2 nghiệm với ∀m,n,p∈R
2/ Tính: 2
1
1
x
Lim
x
→
−
Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
BAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); 3
4
a
SO= Gọi E là trung
điểm của AD, F là trung điểm của DE
1/ Chứng minh (SOF) ⊥(SAD)
2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD)
3/ Gọi ( )α là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) Xác định
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( )α Tính diện tích của thiết diện này.
Hết………
Trang 2Đáp án
I
Xét phương trình: ( 2 sin 4) cos 2 0
x
Điều kiện: sin 3
2
x≠ −
Phương trình (1) ⇔sin2x.cosx-1
2sin2x+4cosx-2=0 ⇔sin2x(cosx-1
2)+4(cosx-1
⇔(cosx-1
2)(sin2x+4)=0 ⇔x= 2
± +
Đối chiếu với điều kiện: x= 2
Vậy phương trình có nghiệm: x= 2
0,25
0,5
0,25
II
1 .Đặt A= {1;2;3;4;5;6}.Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần tử đó
chia hết cho 3 là:
{1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}
0,5
⇒ Có 8 tập
Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được
3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy có 8.6=48 số cần tìm
0,5
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được
n+ −x − = −c + + c + x− c + x + − n+ c ++ x
0,5
Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được:
Khi đó: 2n+1=2011 ⇔n=1005.
Vậy n=1005
0,25
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng y=-9x+2011 có phương
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (c ) ⇔ hệ phương trình
2
có nghiệm
0,25
Giải (2): 1
3
x x
= −
=
0,5
Trang 3Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn).
⇒ phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7
Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn)
⇒ phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25
2 Goi M(x0,f(x0) ∈ (c ); f(x0)= 3 2
0 3 0 2
Đường thẳng ∆ với hệ số góc k đi qua điểm M(x0,f(x0) có phương
trình là: y= k(x-x0)+ f(x0)
0,25
∆ là tiếp tuyến của (c ) ⇔ hệ phương trình
2
0,25
⇒ (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0
x x
=
∆ = (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0
Yêu cầu bài toán ⇔g(x)=0 có nghiệm kép x=x0
0
0 3 4
x
x
∆ =
− − =
x0=1⇒M(1;0)
Vậy M(1;0)
0,5
IV
1 Xét phương trình:
Xét hàm số: 4 3 2
xlim ( )→+∞ f x =xlim ( 2→+∞ − x4+mx3+nx2+px+2011)= −∞
⇒ ∃b>0 sao cho f(b) <o
xlim ( )→−∞ f x =xlim ( 2→−∞ − x4+mx3+nx2+px+2011)= −∞
⇒ ∃a<0 sao cho f(a) <o
0,5
f(0)=2011>0
Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b];
( ) (0) 0
(0) ( ) 0
f a f
<
⇒ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x1∈ (a;0) và ít nhất 1 nghiệm x2
∈ (0;b).
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm
0,5
1
2
3 2
x
x x
→
+
+ +
V Tam giác ABD đều nên BE⊥AD; OF//BE ⇒OF⊥AD (1)
Trang 41 Từ (1) và (2) ⇒AD⊥( OF)S ⇒(SAD) ( OF)⊥ S
2 Kẻ OH ⊥SF tại H⇒OH ⊥(SAD) ⇒d O SAD( ;( ))=OH
3 8
a OH
O là trung điểm của AC nên ( ;( )) 2 ( ;( )) 3
4
a
0,25 0,5
0.25
3 Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) ⇒H là trung điểm của AK
tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt
SD, SA tại M và N Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN
2
2 2
2
OF
3
4
⇒MN cắt SF tại trung điểm I ⇒MN là đường trung bình của tam
giác SAD
2
3
td
MN
a
S
+ +