Trong tam giác vuông DHC ta có... Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ.. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2013-2014
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)
Đề này có 05 câu, gồm 01 trang
Câu I (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm )
Cho hàm số y= f x( ) = 2x3 + 9mx2 + 12m x2 + 1, ( m là tham số)
1. Khi m= − 1, hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ có phương trình 3x+ 20y+ 17 0 = .
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x'( ) = 0 có hai nghiệm
phân biệt x x1 , 2 (x1 <x2) thoả mãn điều kiện 2
x =x .
Câu II (Khối A: 4,0 điểm; Khối B, D: 5,0 điểm )
1. Giải phương trình: tan 4cos 2sin 2 2
3 cos
x
π
2 Giải hệ phương trình:
1
3 3 1
y
x y
y
+ + =
Câu III ( 4,0 điểm)
1 Tìm giới hạn sau: 2 3
2
lim
4
x
x
→
−
2 Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau Lấy ngẩu nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy được số không chia hết cho 3
Câu IV ( 6,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x− + −y = có tâm là I và điểm M(− 1;0) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M cắt
( )C tại hai điểm A B, sao cho tam giác IAB có diện tích S= 3
2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a M N, lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN với DM , biết SHvuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 30 0 Tính SH và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM theo a
Câu V ( 2,0 điểm)
Cho x y z, , là các số thực dương thoả mãn: x y z+ + = 3xyz
Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )
3 4
- HẾT
-ĐÁP ÁN MÔN TOÁN LỚP 11
Đề chính thức
Trang 2(Đáp án gồm 04 trang)
I 1 ( 2,5 điểm)
(4
điểm) Với m= −1 ta có hàm số y= f x( ) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 1, f x'( ) = 6x2 − 18x+ 12
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, (x y0 ; 0) là toạ độ tiếp điểm của tiếp
tuyến với đồ thị hàm số
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ : 3x+ 20y+ 17 0 =
0,75
nên . 3 1
20
k − = −÷
Hay
20 3
k= '( ) 2
20
3
0
1 3 8 3
x x
=
⇔
=
0,75
+) 0 0
x = ⇒ y = phương trình tiếp tuyến là 20 1 110
y= x− +
+) 0 0
x = ⇒ y = phương trình tiếp tuyến là 20 8 187
y= x− +
Vậy có hai tiếp tuyến là : 20 50
y= x+ và 20 293
y= x−
1.00
2 ( 1,5 điểm)
f x = x + mx+ m = x + mx+ m
( )
f x = có hai nghiệm phân biệt ⇔x2 + 3mx+ 2m2 = 0có hai nghiệm phân
biệt
0,75
x = − m m− x = − m m+ (do x1<x2)
Theo giả thiết 2
x =x
2
2
m
0,75
II 1 ( 2,0 điểm)
(4
điểm) Điều kiện : cosx 0 x 2 l ,l Z
2
2
3 sin 2 1 cos 2 sin 2 3 cos 2 cos 2 sin sin 2 cos 2cos 2 3 cos 2 cos 0 sin 1 2cos cos 2 2 3 cos 0 sin cos 2 cos 2 2 3 cos 0 cos 2 sin 3 cos 2 0
π
1,00
x x π kπ k Z
x π x π k π k Z
Đáp án Toán 11- Trang 1
Trang 3So với điều kiện ta được nghiệm của pt là : ; 2 ,
x= +π kπ x= +π k π k Z∈
2 ( 2,0 điểm)
Điều kiện : y 0, x 1 0, x y 3
y
Đặt a x 1, b x y 3 , a b, 0
y
= + = + − ≥ Hệ trở thành
2 2
1, 2 5
a b
a b
0,75
+) Với a= 2,b= 1
ta có
4
4 4
3 1
x y
x y
x y
−
+) Với a= 1,b= 2
ta có
7
7 7
3 2
x y
x y
⇔
−
0,50
Thử lại ta thấy tất cả các nghiệm đều thoả mãn
Vậy hệ có 4 nghiệm
(x y; ) ( ) (={ 3;1 , 5; 1 , 4 − ) ( − 10;3 + 10 , 4) ( + 10;3 − 10) }
0,25
III 1 ( 2,0 điểm)
(4
điểm)
2
2 2
0,50
0,50
2
2
2
2
4.4 4.3 6
x x
+ +
0,50
0,50
2 ( 2,0 điểm)
+) Tìm số có ba chữ số khác nhau lập được từ tập E={0,1, 2,3, 4,5}
Số cần tìm có dạng abc
Chọn a E a∈ , ≠ 0 có 5 cách
Chọn 2 trong 5 số còn lại của E a\{ } xếp vào hai vị trí b, c có 2
5
A cách
Vậy có 2
5
5.A = 100(số)
1,00
+) Tính số lập được chia hết cho 3
Số cần tìm có dạng abc , a b c+ + M 3
Xét các tập con gồm 3 phần tử của tập E={0,1, 2,3, 4,5} , ta thấy chỉ có
các tập sau thoả mãn điều kiện tổng các chữ số chia hết cho 3 là:
Đáp án Toán 11- Trang 2
Trang 4{ } { } { } { }
A 0,1, 2 , A 0,1,5 , A 0, 2, 4 , A 0, 4,5
A 1, 2,3 , A 1,3,5 , A 2,3, 4 , A 3, 4,5
Khi a b c A A A A, , ∈ 1 , 2 , , 3 4 mỗi trường hợp lập được 4 số thoả mãn yêu cầu
Khi a b c A A A A, , ∈ 5 ; ; ; 6 7 8 mỗi trường hợp lập được 6 số thoả mãn yêu cầu
Vậy có 4.4 4.6 40 + = (số)
Suy ra số không chia hết cho 3 là100 40 60 − = (số)
Xác suất cần tính là 60 0,60
100
P= =
1,00
IV 1 ( 3,0 điểm)
(6
điểm) (C) có tâm I( )1; 2 , R= 2 ; Đường thẳng ∆ đi qua M(− 1;0) có phương
trình
a x+ +by= a +b ≠ Giả sử ∆ cắt (C) tại hai điểm A B, thoả mãn
3
IAB
SV = Gọi H là hình chiếu của I trên AB⇒H là trung điểm của AB
0 0
60
IAB
AIB
AIB
V
1,00
+) ·AIB= 60 0 ⇒IH =IA.cos30 0 = 3 ⇒d I( , ∆ =) IH = 3
2 2
4 15 , 1
15 4 , 1
a b
1,00
+) ·AIB= 120 0 ⇒IH =IA.cos 60 0 = 1 ⇒d I( , ∆ =) IH = 1
2 2
, 1
, 1 3
a b
a b
Pt ∆ là (4 + 7)x− 3y+ + 4 7 0; 4 = ( − 7)x− 3y+ − 4 7 0 =
Vậy có 4 đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán
1,00
2 ( 3,0 điểm)
Trang 5Từ H kẻ HI ⊥CD, do SH ⊥(ABCD)⇒SH ⊥CD, từ đó suy ra CD⊥(SHI)
⇒góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc (·SI HI, ) =SIH· = 30 0
Trong tam giác vuông DHC ta có . 2
5
DH CH a HI
CD
Trong tam giác vuông SHI ta có 0 2 3
.tan 30
15
a
1,00
Gọi K là trung điểm của DC ⇒BK DM//
DM SBK d DM SB d DM SBK d H SBK
Gọi E là giao điểm của BK và CN, từ H kẻ HF ⊥SE ( )1 ,
do BK CN BK (SHE) BK HF ( )2
BK SH
⊥
Từ (1) và (2) suy ra HF ⊥(SBK)⇒HF =d H SBK( ,( ) )
Ta có EK HD// mà K là trung điểm của DC nên E là trung điểm của HC
a
HE HC
⇒ = = Trong tam giác vuông SHE ta có
a HF
HF = HE +HS = a + a = a ⇒ =
95
a
d DM SB =d H SBK =HF = .
1,00
V ( 2 điểm)
(2
điểm) Từ giả thiết
x y z xyz
xy yz zx
Đặt 1 , 1 , 1 , , 0
3
a b c
ab bc ca
>
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
2 3 2 3 2 3 3
b +c +a ≥
0,50
Do ab + bc + ca = 3 nên
Đáp án Toán 11- Trang 3
Ta có
MAD NDC c g c
·ADM DCN·
·
0 0 0
90 90 90
ADM MDC
DCN MDC
DHC
Hay DM ⊥CN
Trong tam giác DCN ta
có
5
DCN
DH CN DN DC S
DN DC a DH
CN
∆
5
a
C
H N
B S
D
Trang 6VT (*) = 2 a3 2 b3 2 c3
b ab bc ca c+ ab bc ca a+ ab bc ca
=
b c a b + c a b c + a b c a
Theo BĐT AM-GM ta có
b c a b
b c a b
+ + (1)
0.75
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
c a b c
− −
≥
a b c a
≥
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được (*)
4
a b c
VT ≥ + +
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được :
a + b + c ≥ 3(ab bc ca+ + )= 3
Đẳng thức xảy ra khi a b c= = = 1 hay x= = =y z 1 (Đpcm)
0,75
Chú ý: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài Bài
làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
Đáp án Toán 11- Trang 4