Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3.. Mặt phẳng AMI cắt SC tại N.. a Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳn
Trang 1TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1
Web: http://bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
Ngày 14/03/2013
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN LỚP 11
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1004 :
2 8sin xcosx 3 sinx cosx
0 sin x
6
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau
b) Tính tổng
Câu 3 (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5 x có nghiệm 2 0 x0 thỏa
0
x 8
Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 M và I là hai điểm thỏa mãn 3MB MS 0
, 4IS 3ID 0
Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N
a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (AMI)
b) Chứng minh ANI 90 ;AMI0 900
c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S.ABCD
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
- Hết -
Họ tên thí sinh: ……… SBD: ………
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TOÁN 11 Câ
u
m
PT 4sin 2x sinx 3 sinx cosx 0
2(cosx cos3x) 3 sinx cosx 0
cos3x=cos x
3
6
k
0,25
Kết hợp với điều kiện xác định Phương trình đã cho có nghiệm là x k
k
0,25
k
1 k 2008
k
0,5
Các nghiệm của phương trình đã cho trên 0;1004 là xk k
1 k 2008
k
,gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng có 1 5
x
công sai d
2
nên tổng các nghiệm là:
1
0,5
Gọi a a a a a a1 2 3 4 5 6 là số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ
{0;2;3;5;6;8}
- Để lập thành một số dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6 :
1
a 0 nên có 5 cách chọn a1, sau đó chọn một hoán vị 5 chữ số còn lại Do đó có tất
cả 5.5! = 600 số dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6
0,5
- Ta tìm tất cả các số có hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau trong các số trên:
Có 5 vị trí trong mỗi số a a a a a a1 2 3 4 5 6 để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, trong đó vị
trí đầu bên trái chỉ có một khả năng là 50a a a a3 4 5 6, các vị trí còn lại có thể hoán vị 0 và
5
0,5
Trang 3Sau khi chọn vị trí để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, ta chọn một hoán vị các chữ số còn lại Do đó có 9.4! = 216 số dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6 ,trong đó có chữ số 0 và chữ số 5 đứng cạnh nhau
Ta chứng minh bổ đề:
Thật vậy: (*)
n 1 !
k 1 n k !k! n 1 n k ! k 1 !
n k ! k 1 ! n k ! k 1 !
0,5
Áp dụng bổ đề, số hạng tổng quát của S là:
0,5
Vậy
1
n 2 n 2
1
n 2
0,5
Đặt 5
f x x x 2
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn [1; 2] f(1).f(2) = -2.28 = -56 < 0
Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 1;2
0,5
Mặt khác: x50 x0 2 0 x50 x0 2 2 2x0
,Dấu “=” không xảy ra vì
0
x 1;2
Vậy
0
b
B
a
C
S
N M
Đặt AB a, AD b, AS c
2 1
BC b, a a, b 2 a 2a, c a 3, a.b a , a.c 0, b.c 0
2
0,5
Trang 4Ta có: SD b c, AI 3 b 4 c, AM 3 a 1 c
SD.AI 0, SD.AM 0
Do đó SD AI, SD AM Vậy SD AMI
0,5
0
0,5
0
0,5
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AMNI
2
2
14
2
ANI
0,5
+
2 15a AM.AN
16
Vậy
2
45a 7
224
0,5
Đặt x a , y b, z c với x, y, z > 0
P
3P
0,25
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:
2
0,25
2
2
Q
xy yz zx
3
4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3
4
0,25
Các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng