a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. 4 điểm Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức cotB+ cotC =αcotA.. Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC.
Trang 1SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG – NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi: Toán 10
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y x= 2 −3x+2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để phương trình: x2−3x+ = −2 m 2 có đúng 2 nghiệm.
Câu 2 (6 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau
a) 2 1 ( 4 8) ( )
b) (2x2−5x−7) x− ≥2 0
c)
( 3 3) ( 2 2)
5 0; 0
Câu 3 (4 điểm) Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức cotB+ cotC =αcotA Độ dài các
cạnh BC, CA, AB tương ứng là a, b, c.
a) Với 1
2
α = chứng minh rằng b2 +c2 =5a2
b) Tìm giá trị lớn nhất của góc A khi α =2( 2 1− ).
Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A1(− −1; 2 ,) ( ) (B1 2; 2 ,C1 −1; 2).
a) Tìm tọa độ điểm M ∈Ox sao cho · 0
1 1 45
MA B =
b) Tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ A, B, C theo thứ tự là A B C1, ,1 1 Viết
phương trình cạnh BC của tam giác ABC.
Câu 5 (2 điểm) Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x y z+ + =3 Chứng minh rằng
x +y + +z xyz≥
Trang 2
-HẾT -Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM
1a)
2đ
TXĐ: D=¡
3
b
a
4a 4
∆
− = − ; a = 1 > 0
Hàm số đồng biến trên (3 )
2;+∞ ; nghịch biến trên ( 3)
2
;
Bảng biến thiên
Đồ thị có TĐX là x = 3/2, Đồ thị cắt Ox tại điểm (1;0) và (2; 0), cắt Oy tại (0; 2).
Đồ thị (hình vẽ 1)
0.5
0.5
BBT 0.5
ĐT 0.5 1b)
2đ
Từ đồ thị trên suy ra đồ thị hàm số y= x2 −3x+2 như hình vẽ 2:
Từ đó, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt điều kiện là:
2 4
m m
− =
1 1
2a)
2đ
Điều kiện 4 ≤ ≤x 8
Đặt t = x− +4 8−x (t > 0), t2 = +4 2 (x−4 8) ( −x)
Phương trình đã cho trở thành: 2 2 4 2 2 2 3
Với t = 2, x− +4 8− = ⇔x 2 (x−4 8) ( −x) = ⇔ =0 x 4 hoặc x = 8.
0.5
0.5
0.5 0.5 2b)
2đ
Điều kiện: x≥2 Bất phương trình đã cho tương đương với
TH1:
7/2 7/2
2 0
2
x
x x
x
x
TH2:
2
2 2
2 0
x x
x
Vậy, bất phương trình đã cho có tập nghiệm S ={ }2 ∪[7/2;+∞) .
0.5
0.5 0.5 0.5 2c)
2đ
Do x < 0; y < 0 nên x + y < 0
5
1 2
x y
= −
= −
(thỏa mãn)
Vậy, hệ đã cho có nghiệm (-1; -2) và (-2; -1)
0.25 0.5 1
0.25
cot
A
Trang 3Tương tự: cot 2 2 2 ;cot 2 2 2
Với 1,
2
α = ta có ( 1) 2 1( 2 2) 2 2 2
2+ a = b +c ⇔b +c =5a
0.5 0.5 0.5 0.5 3b)
2đ Từ (*)
α
+
2
2
2
cos
2
A
a
a
α
α
α α
+
Suy ra, A≤450 Vậy GTLN của góc A là 450 khi b c=
0.5
0.5
0.5
0.5 4a) Gọi M x( );0 ∈Ox .uuuurA M1 =(x+1; 2 ;) uuuurA B1 1 =( )3; 4 Ta có:
·
uuuur uuuur uuuur uuuur
11/3
x
≥ −
2
9/7
x
0.5 0.5 0.5 0.5 4b)
Chứng minh được trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A B C1 1 1
G/s H x y( ; ) , uuuurA H1 =(x+1;y+2 ;) uuuurA C1 1 =( )0; 4 ;uuuurA B1 1 =( )3; 4
Ta có
0.5
0.5 H
Trang 4( ) ( )
=
=
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
BC qua A1(− −1; 2), nhận uuuurA H1 =( )1;3 làm vecto pháp tuyến nên có phương trình
(x+ +1) (3 y+2) = ⇔ +0 x 3y+ =7 0.
0.5 0.5
Đặt t = xy, do ( )2 ( )2
3 0
3 0
4
z
≤ ≤
Ta chứng minh f t( ) (= 4z−9)t+9z2 −27z+23 0≥ , với mọi ( )2
3 0
4
z
( )
f t là hàm bậc nhất đối với t nên đạt được GTNN tại t = 0 hoặc ( )2
3 4
z
=
+ f ( )0 =9z2 −27z+23 0 do > ( a= > ∆ = − <9 0; 99 0)
2 2
Vậy, (*) đúng, ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z= 1.
0.5 0.25
0.5
0.5
0.25
