Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12
MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y =
1
1
2
+
+
+ x
mx x
1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1)
b) Tìm trên 2 nhánh của (C1) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất
2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT và yCĐ.yCT > 0
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: 3 x+1−3 x−1= 6 x2 −1
2đ
2đ
3 7
3
2 2
2
+
−
≤ +
Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số = ∫π
0
2
sin xdx e
n
(n = 1, 2, )
n
e
2
=
∀
≤ π 3đ
∞
→ 1đ
Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 2 1
2 2
2
=
+ b
y a x
có a > b
Trang 2Xét Mo(Xo, Yo) ∈ E ; O là gốc toạ độ
2đ
2) CMR: tiếp tuyến với E tại MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX và
OY ở A, B thì tồn tại vị trí MO để độ dài AB min 2đ
Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp ∆SABC có góc tam diện đỉnh S vuông
và SA = 1; SB = 2; SC = 3 M là 1 điểm thuộc ∆ABC Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin
Hướng dẫn đáp án:
Bài 1:
1) m = 1:
a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x +
1
1 + x
b) y' = 1
( )2
1
1 +
−
khi x = -2 hoặc x = 0 → dấu y'
- 2 - 1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-∞, -2) ∪ (0 + ∞) hàm số nghịch biến trên (-2, -1) ∪ (-1, 0)
Có xLĐ = -2, → yCĐ = -3 và xCT = 0 → yCT = 1 0,5đ
+
+
1
1 x x
lim
x
Trang 3Tiệm cận xiên y = x vì
1
1 +
∞
→ x
lim
x = 0 Bảng biến thiên:
1
x y' y
+ ∞
+ ∞ -3
Trang 4Vẽ đồ thị (0,5d) y
- 3
→ A (-1 +α, -1 + α +
α
1 ) và β(-1 -β, -1 -β
-β
1 ) với α và β dương
→ BA2 = AB2 = (α + β)2 + (α + β)2
2
1
αβ +
= (α + β)2
β α
+ αβ + αβ
≥
αβ +
2
1 2
2 4
1 1 1
= 8αβ
αβ
+ 4 + 8 ≥ 8 + 8 2
- 1
-1
0
y = x
Trang 5tại α = β = 4
2
1
4
2
1 1 2
1
A
4
2
1 1 2
1
Bài 2:
chia 2 vế cho 6 x2 − 1 ta có:
1 1
1 1
1
6
+
−
−
−
+
x
x x
x
x
x
1
1
−
+
=
ta có: = 1 − 1 = 0
t
t → t2 - t - 1 = 0
2
5
1 2
5
=
−
+
⇒
+
=
−
+
2
5
1 2
5
1 1
x x
x
1 2
5 1
2
5 1 1 2
5 1
6 6
−
+
+ +
=
⇒
+
+
b) Nhận xét rằng: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2
→ điều kiện cần phải có 2++38 +7
2
y
y y
-≥ 1
Trang 6→
2
1
→ BPT có nghiệm
=
−
= 1
1 y
x
Bài 3: Đặt = ∫0π 2
nxdx sin
e
n
= ν
=
→
n nxdx
sin ,
dx xe du
e
2
2
1
nxdx cos
xe n x
n cos e
n
1 1
1
nxdx cos
xe J
;
J n
e )
( n
n n
n n
n
n n
e J
n n
e ) (
2 2
+
+
≤ +
−
−
1,0đ
mặt khác có:
∫
∫
0 0
0
2 2
2
dx xe J
nxdx cos
xe nxdx
cos xe
n x
x n
=
n
e I
e
n
2 2
2 2
π
≤
→
2 2
→
→
n
e vµ n
e
Bài 4:
Trang 71) 2 điểm: từ MO∈ E → 2 1
2 2
2
=
+ b
y a
xO O
và OM2 = 2 2
O
O y
1=
2
2 0 2
2
0 +
b
y a
2
2
0 +
b
y b
và 1=
2
2 0 2
2
0 +
b
y a
2
2
0 +
a
y a
từ (1) và (2) → a2≥ OM2≥ b2→ a ≥ OM ≥ b 1,0đ
2) Đường thẳng AB có dạng + = 1
n
y m x với A(m,o); B(n,o)
theo t/c tiếp tuyến → 2 1
2 2
2
=
+ n
b m
a
vậy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 =
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
m
n b n
m b
a n
b m
a n
+
≥ a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 dấu = có khi 2
2
2 2
2
2
a m
n b
n
→
= +
=
1
2
2 2 2
2 2
n
b m a
a n b m
→ ABmin = a + b khi
+
=
+
=
ab b
n
ab a
m
2 2
Bài 5: Đặt ASM = α, BSM = β, CSM = γ
Ta có: P = sinα + 2sinβ + 3sinγ
S
M
γ α β
Trang 8sẽ tính được sin2α + sin2β + sin2γ = 2 0,5đ
→ sinα + sinβ + sinγ≥ sin2α + sin2β + sin2γ = 2
=> sinβ + sinγ - 1 ≥ 1 - sinα
→ 2(sinβ + sinγ) - 2 ≥ 1 - sinα 0,5đ
→ 2sinβ + 3sinγ + sinα ≥ 2 + 1 = 3 1,0đ
Pmin = 3 khi sinα = sin2α; sinβ = sin2β; sinγ = sin2γ 0,5đ
=> sin γ = 0, sinα = sinβ = 1 →α = 900, β = 900, γ = 00
Pmin = 3 khi M ≡ C
A
B
C