3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C... Vậy tam giác ABC là tam giác vuông Câu 6.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI : (4 điểm):
Cho hàm số y= x3 + 3x2 - 2 (C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị
2/ Giải bất phương trình : 0 ≤ 2006 + 6018x2- 4012 ≤ 4012
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) Biết tiếp tuyến đi qua A(0; -2) CâuII : (2 điểm) Tính
I=∫e x+1 dx
CâuIII : (2 điểm) Giải và biện luận phương trình theo tham số m
m x
x+ 1 + − 1 =
Câu IV: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
1/ Sin(π/2 - πcosx)= cos(3πcosx) 2/ 6 x + 4 x = 2.9 x
Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông:
Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1 Câu VI: (2 điểm): Tính giới hạn sau:
2
2
0
9 27 27 9
lim
x
x x
x
+
− +
→
Câu VII: (2 điểm): Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 lần lượt có phương trình là :
d1: x-y+2 = 0 ; d2: x-y-2 = 0 1/ Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua điểm A(-2; 0) và vuông góc với d2
2/ Viết phương trình đường thẳng d4 sao cho d1, d2, d3, d4 cắt nhau tạo thành một hình vuông
Câu XIII: (2 điểm): Chứng minh rằng với a,b> 0 ta có:
a5+b5 ≥ a4b + ab4
Trang 2y
2
-1-3 3
-1+3
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: Toán- Đề 2
(Bản hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu 1: (4 điểm)
1, (2 điểm)
+ y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2), y' = 0
−
=
=
⇔
2
0
x x
+ dấu y':
y
Với x∈(-∞; -2) ∪ (0; +∞) hàm số đồng biến
x∈(-2; 0) hàm số nghịch biến Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = 2
Tại x= 0 hàm số đạt cực tiểu yCT = -2 (0,25đ)
+ y'' = 6x + 6 = 6(x+1); y'' = 0 ⇔ x= -1
+ dấu y'':
x -∞ -1 +∞
y'' - 0 +
đ.u
* Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2)
* Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1, x = − 1 ± 3
Trang 3Qua điểm (-3; -2); (1; 2)
2 (1 điểm)
0≤2006 x3 + 6018 x2 - 4012≤ 4012 ⇔ 0≤ x3 + 3x2 - 2 ≤ 2 (*) (0,5đ) theo đồ thị (C) ta có: (*)⇔x∈ [ -1- 3; -1 ]∪ [ -1+ 3; 1 ] (0,5đ)
3 (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) có hệ số góc k:
y+2= k(x- 0) (d) ⇔ y = kx-2
(d) là tiếp tuyến của (c) ⇔
+
=
= +
⇔
+
=
−
=
− +
x x k
kx x x x
x k
kx x
x
6 3
) 1 ( 3
6 3
2 2
2
2 3
(0,5đ)
có nghiệm
Thay k từ (2) vào (1) ta được:
x2(2x+3) = 0 ⇔x = 0, x= -
2
3
(0,25đ)
* Với x= 0 ⇒ k= 0 tiếp tuyến là y = - 2
* Với x=
-2
3 ⇒ k= -
4
9
tiếp tuyến là y= - 2
4
Câu 2 (2 điểm).
1 (1 điểm)
Ta có I = ∫ x( x+1)
x
e e
dx e
Đặt ex+1 = t (*) → ex = t-1
exdx = dt
t t
t t t
t
dt
) 1 ( )
1 (
t
dt t
−
1 1
1
(0,5đ)
=lnt− 1- lnt +c =ln
t
t 1− +c
Từ (*) ta có: I = ln
1 +
x
x e
e
+ c = x - ln(ex +1) +c (0,5đ)
Câu 3 (2đ) Xét hàm số y= x+ 1 + x− 1 (c)
0,5 đ
Trang 4
1
+
1
−
x -x+1 -x+1 0 x-1
Khi đó y=
−
x
x
2
2
2
≥
<
<
−
−
<
1
1 1
1
x x x
đồ thị (C)
* Biện luận số nghiệm của phương trình theo m:
⇒ số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
y = m
+ Nếu m<2 phương trình vô nghiệm
+ Nếu m=2 phương trình có nghiệm [1; 1]
+ Nếu m>2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Câu 4 (4đ)
1 Phương trình tương đương với :
+
−
=
+
=
⇔
π π
π
π π
π
2 3
2 3
k Cosx Cosx
k Cosx Cosx
(k ∈Z)
+
−
=
+
=
⇔
k Cosx Cosx
k Cosx Cosx
2 3
2 3
(0,5đ)
=
−
=
⇔
) 2 ( 2
) 1 (
k
Cosx
k Cosx
(0,25đ)
Vì k∈Z, Cosx ≤ 1 nên:
1
0
±
=
=
⇔
Cosx
Cosx
(0,25đ)
(2)
±
=
±
=
=
⇔
2 1 1 0
Cosx
Cosx
Cosx
Từ (*) và (**) ta có:
±
=
±
=
=
) 5 ( 2
1
) 4 ( 1
) 3 ( 0
Cosx Cosx
Cosx
(0,25đ)
Nếu Nếu Nếu
y = 2
y = m
2
y
(0,5đ) (C)
Trang 5[ ]
+
±
=
+
±
=
⇔
=
⇔
+
=
⇔
) ( 2
3 2
) ( 2
3 )
5
(
) ( )
4
(
) ( )
3
d k
x
c k
x
b k
x
a k x
π π
π π π
π
π
Từ (a),(b),(c),(d) ta có nghiệm của phương trình là :
+
=
+
=
2 3
2 2 π π
π π
k x
k x
(k∈Z) (0,25đ)
2 Phương trình tương đương với
2 3
2
3
=
+
Đặt t =
x
3
(1) ⇔t2 + t -2 = 0 ⇔ ==1−2
2
1
t t
Với t = 1 ⇔
x
3
2
= 1 ⇔
x
3
2
=
0
3
2
Câu 5 (2đ)
=
=
=
⇔
=
⇔
=
− +
+
⇔
= +
− +
⇔
= +
+ +
⇔
= +
+ +
+
⇔
= +
+
0 0 0
0
.
0 ) ( )
(
0 )
( ) (
1 )
2 2
(
2
1
1
1 2
2 1
2
2
1
1
2 2 2
2 2
2
CosC
CosB
CosA
CosC CosB
CosA
B A Cos B
A Cos
CosC
C Cos B
A Cos B A
Cos
C Cos B
Cos A Cos
C Cos B Cos A
Cos
C Cos B Cos
A
Cos
* Nếu CosA = 0 ⇒∆ABC vuông tại A
* Nếu CosB = 0 ⇒∆ABC vuông tại B
* Nếu CosC = 0 ⇒ ∆ABC vuông tại C
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông
Câu 6 (2đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (Loại)
Trang 62 2 0
2
0
2
2
0 2
2
0
3 9 27 lim 3 27 9
lim
) 3 9 27 ( ) 3 27 9
( lim 9 27 27 9
lim
x
x x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
− +
−
− +
=
− +
−
− +
= +
− +
→
→
→
→
6
25 2
9 3
1 3 3
27 9
9
9
9
3 9 27
27 lim
9 27 9
3 ) 27 9
(
9 lim
) 3 9 27 (
27 lim
9 27 9
3 ) 27 9
(
9 lim
2 0
0
2 2
2 0
2
0
−
=
−
= +
− +
+
=
+ +
− + + +
+
=
+ +
− + + +
+
=
→
→
→
→
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Câu 7 (2đ)
1 d3 vuông góc với d2 nên có dạng x+y+c = 0
Vì d3 qua A(-2 ; 0) nên : -2 + 0 + c = 0 ⇔ c =2 (0,75đ)
2 Vì A(-2;0) ∈ d1 nên
Để d4 và d1, d2, d3 cắt nhau tạo thành một hình vuông khi và chỉ khi d4//d3 và
Do đó d4 có dạng : x + y + D = 0
(*) ⇔
2
2 0 2 2
0
= + +
(0,5đ)
−
=
=
⇔
=
−
2
6 4
2
D
D D
Vậy đường thẳng d4 có dạng x+y+6 =0 hoặc x+y-2 = 0 (0,25đ)
Câu 8.(2đ)
a5+b5 ≥a4b+ab4
⇔ a5+b5- a4b - ab4 ≥ 0 (0,5đ)
⇔a4(a-b) - b4(a-b) ≥ 0
⇔ (a - b)(a4-b4) ≥ 0 (0,5đ)
⇔ (a-b)(a2-b2) (a2+b2) ≥ 0 (0,25đ)
⇔ (a-b)2(a+b) (a2+b2) ≥ 0 (0,5đ)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b (0,25đ)
(1đ) (0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ)