Sáng kiến kinh nghiệm về toán rời rạc ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

Trong cuốn sách ”Một số chuyên ñề ðại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT” , thày Nguyễn Văn Tiến ñã hệ thống, xây dựng lý thuyết của một số nguyên lý toán học và cung cấp hệ thống bài tập c

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

CÁC CHUYÊN ðỀ TOÁN RỜI RẠC

(Chuyên ñề bồi dưỡng HSG)

Tổ: Toán- Tin

Năm học : 2010-2011

Mã số:………

Bắc Giang - Tháng 4 năm 2011

LỜI NÓI ðẦU

Toán rời rạc là một phần quan trọng trong chương trình toán học, kể cả phổ thông

và chương trình dành riêng cho các lớp Chuyên Toán Trong các kỳ thi ðại học và trong các kỳ thi học sinh giỏi ñều có các bài toán về tổ hợp và toán rời rạc Hiện nay, các sách viết về toán rời rạc không nhiều Chính vì vậy học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc tìm tài liệu Trong cuốn sách ”Một số chuyên ñề ðại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT” , thày Nguyễn Văn Tiến ñã hệ thống, xây dựng lý thuyết của một số nguyên lý toán học và cung cấp hệ thống bài tập cho học sinh Tuy nhiên, do khuôn khổ cuốn sách nên trong ñó còn

có một hệ thống bài tập chưa có lời giải Trong khuôn khổ chuyên ñề này, người viết ñã giải và thêm vào một hệ thống bài tập bổ sung thêm cho các nguyên lý phản chứng, quy nạp, Dirichlet, cực hạn và lý thuyết trò chơi

Trong chương I, người viết trình bày một số dạng toán về tổ hợp và nhị thức

Newton Phần này có tác dụng ñối với cả ôn thi ðại học và ôn thi HSGQG Trong chương này ñưa ra một phương pháp xét số hạng tổng quát ñể chứng minh các ñẳng thức tổ hợp.Thường dạng toán này trước kia dành cho học sinh lớp 12 Phương pháp này giúp học sinh lớp 10 khi chưa ñược học nguyên hàm và tích phân vẫn có thể giải ñược

Trong chương II, người viết tóm tắt lại các nguyên lý cơ bản của Toán học: nguyên

lý phản chứng, quy nạp, Dirichlet, cực hạn và lý thuyết trò chơi, ñồng thời cũng ñưa ra một hệ thống bài tập minh hoạ ðây góp phần là một tài liệu về toán rời rạc ñể dạy lớp Chuyên toán và bồi dưỡng HSGQG

Người viết mong nhận ñược sự trao ñổi, góp ý của các thày cô giáo và các em học sinh ñể chuyên ñề có chất lượng cao hơn nữa

Bắc giang, tháng 4 năm 2011

Người viết

Trần Thị Hà Phương

MỤC LỤC

Trang

Chương I MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON

I.1 Tóm tắt kiến thức lý thuyết ……… ……… 1

I.1.1 Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp 1

I.1.2 Công thức khai triển nhị thức Newton………1

I.1.3 Một số công thức về tổ hợp……….1

I.2.Một số dạng toán thường gặp ……… 2

I.2.1 Các bài toán về tính toán, suy luận … …2

I.2.2 Phương trình và bất phương trình tổ hợp……… 3

I.2.3 Bài toán tính tổng………4

I.2.4 Chứng minh hệ thức tổ hợp……… 5

I.2.5 Tính hệ số của ña thức……… 5

I.2.6 Sử dụng ðạo hàm chứng minh các công thức tổ hợp……… 8

I.2.7 Sử dụng Tích phân chứng minh các công thức tổ hợp……….8

I.2.8 Biến ñổi tương ñương chứng minh các ñẳng thức tổ hợp……….10

Chương II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA TOÁN HỌC 13

II.1 Nguyên lý phản chứng ……… .13

II.1.1.Một số chú ý 13

II.1.2.Một số ví dụ minh hoạ 13

II.2 Nguyên lý Quy nạp 16

II.2.1 Phương pháp quy nạp hoàn toàn……….16

II.2.2 Phương pháp quy nạp lùi……… 17

II.2.3 Một số ví dụ minh hoạ 18

II.3 Nguyên lý Dirichlet 19

II.4.Nguyên lý cực hạn ……… 24

II.5.Một số bài tập về lý thuyết trò chơi……….…… 39

II.5.1.Một số khái niệm……… 39

II.5.2.Một số phương pháp xây dựng chiến lược thắng……….40

Chương I

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON

I.1 Tóm tắt kiến thức ký thuyết

I.1.1 Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Ở ñây ta quy ước n, k là các số tự nhiên với n≥ 1;k≤n

a) Hoán vị: Cho một tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần

tử ñó tạo thành một hoán vị Số hoán vị của n phần tử là P n = n!

I.2 Một số dạng toỏn thường gặp

I.2.1 Cỏc bài toỏn tớnh toỏn, suy luận

Bài 1 Cho A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ

A nhưng nhất thiết phải có mặt chữ số 3

Bài 2 Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau

Bài 9. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lý nam Hỏi có bao nhieu cách lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và nữ, cả nhà toán học và nhà vật

lý

Bài 10 (B-2004) Trong một môn học, thày giáo có 30 câu hỏi khác nhau để lập bài kiểm

tra với 5 câu khó, 10 câu TB, 15 câu dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu

đề kiểm tra gồm 5 câu hỏi khác nhau trong đó mỗi đề phải nhất thiết có mặt ba loại

và số câu dễ không ít hơn 2

Bài 11 (B-2002) Cho đa giác đều 2n đỉnh A1, A2,…, A2n nội tiếp (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh là ba trong 2n điểm A1, A2,…, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là bốn trong 2n điểm A1, A2,…, A2n Tìm n

Bài 12. Một hộp ủựng 14 viờn bi cú trọng lượng khỏc nhau trong ủú cú 8 viờn bi trắng và

6 viờn bi ủen Tỡm số cỏch chọn 4 viờn bi sao cho trong 4 viờn bi ủược chọn ra phải

cú ớt nhất một viờn bi trắng

I.2.2 Phương trình và bất phương trình tổ hợp.

-Phương trình tổ hợp là phương trình có chứa nhiều ẩn số trong công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

-Khi giải phương trình tổ hợp ta ñặc biệt chú ý ñến việc ñặt ñiều kiện cho ẩn số, sử dụng các công thức về tổ hợp ñể biến ñổi, rút gọn và ñưa về phương trình ñại số ñể giải, cuối cùng so sánh nghiệm tìm ñược với ñiều kiện ñặt ra rồi kết luận

Bài 13 Giải các phương trình và bất phương trình sau

n

+ +

= + , với C n2+1 +2C n2+2 +2C n2+3 +C n2+4 =149

Bài 16 Giải các phương trình và bất phương trình sau:

+ +

+

ℤ Tìm các số hạng không dương của dãy số trên

Bài 18 (B-2006): Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử

của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k∈{1, 2, ,n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất

0 1 2

1 2 + x n =a +a x+a x + + a x n n n, ∈N và các hệ số thỏa mãn hệ thức 1 2

0 2 4096

n n

I.2.5 Tính hệ số của ña thức

Chú ý: Tính hệ số của số hạng xα trong khai triển ña thức P(x)

- Viết khai triển ( )

0

( ) n g k

k k

P x a x

=

=∑

- Hệ số của xαứng với k thoả mãn g k( )=α

- Nếu tìm ñược k∈ℕ;k≤n thì hệ số phải tìm là a

k

Nếu tìm ñược k ∉ℕ hoặc k >n thì hệ số phải tìm là 0

Bài 26 Tính số hạng không chứa x trong khai triển 3 2

( ) ( )n

x

= + , biết rằng n thoả mãn 6 3 7 3 8 9 2 8

Bài 32 Tìm hệ số của số hạng chứa 43

x trong khai triển

21 5

3 2

1

x x

Bài 34 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

9 2

Bài 38 Tìm hệ số của số hạng chứa x26

trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7

4

x x

Bài 41 Tìm hệ số của số hạng chứa x8

trong khai triển nhị thức Niu-tơn 5

3

x x

Bài 42 Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của 3n 3

x − trong khai triển thành ña thức của ( 2 ) ( )

Bài 46 Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức ( 2 )

1 n

x + bằng 1024 Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển trên

Bài 47 Gọi a1, a2, …, a11 là hệ số trong khai triển sau:

Bài 50 Cho khai triển: (1 2 + x)n =a0 +a x1 + + a x n n, trong ñó n∈ ℕ∗ và các hệ số

a a

I.2.6 Sử dụng ñạo hàm chứng minh các công thức tổ hợp.

Bài 52 (ðHKTQD A2000) CMR với mọi số nguyên dương n, ta có :

I.2.8 Biến ñổi tương ñương chứng minh các ñẳng thức tổ hợp

Ở hai mục 6 và 7, chúng ta có sử dụng phương pháp ñạo hàm và tích phân ñối với các bài toán về nhị thức Newton Trong các ñề thi tuyển sinh vào các trường ðại học và Cao ñẳng, dạng bài tập này cũng thường xuất hiện tuy nhiên, trong sách giáo khoa mới hiện nay phần nhị thức Newton nằm ở lớp 11 (trước phần ðạo hàm và Tích phân) Vì vậy,

có ý kiến cho rằng không thể giảng cho học sinh lớp 11 dạng bài toán này Tuy nhiên trong mục này, chúng ta vẫn có thể giải các bài toán thuộc dạng trên bằng cách sử dụng

các công thức về tổ hợp thuần tuý mà không cần dùng ñến công cụ ðạo hàm, Tích phân

k n

+ +

II.1.2 Một số bài toán minh hoạ

Ví dụ 1 Cho f x( )=ax2+bx+ Giả sử c a + b + c >17 Chứng minh rằng tồn tại

⇒ + + ≤ ( trái với giả thiết)

Do ñó ñiều giả sử là sai Như vậy tồn tại x ∈[ ]0;1 sao cho f x >( ) 1

Bài toán ñược chứng minh

Ví dụ 2 Cho a b c∈, , ( )0;1 Chứng minh rằng ba số a(1-b) ; b(1-c); c(1-a) không thể cùng

lớn hơn 1

4

Chứng minh

Giả sử cả ba số ñã cho cùng lớn hơn 1

4 Do a b c∈, , ( )0;1 nên a(1-b) ; b(1-c); c(1-a) >0

Như vậy cả ba số a(1-b) ; b(1-c); c(1-a) không thể cùng lớn hơn 1

4

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì hai số 1984n − 8 ; 1984n n+ 8n có số chữ

số bằng nhau trong biểu diễn thập phân

(1) loại do VT chẵn, VP lẻ (2) loại do VT chia hết cho 5, VP không chia hết cho 5

Vậy ñiều giả sử là sai Do ñó hai số có cùng chữ số

Ví dụ 4 Cho tập S gồm n ñiểm trên mặt phẳng thoả mãn:

1 Không có ba ñiểm nào thẳng hàng

2 Với mỗi ñiểm P thuộc tập S tồn tại ít nhất k ñiểm thuộc S có cùng khoảng cách tới

Suy ra: 2

k

C

∃ ≥ cặp (A B, )∈S thỏa mãn PA=PB

Do khẳng ñịnh trên ñúng với ∀ ∈P Scó n ñiểm

Suy ra có không ít hơn 2 ( 1)

1 4

Do ñó ñiều giả sử là sai, hay ta phải có 1 2

2

k≤ + n

Bµi 74. Trªn mÆt ph¼ng cho tËp X gåm c¸c ®iÓm sao cho mçi ®iÓm M ∈X lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm thuéc X Chøng minh r»ng tËp X lµ v« h¹n

Bài 75 Trên mặt phẳng cho n ñiểm trong ñó không có ba ñiểm nào thẳng hàng Biết

rằng ba ñiểm trong n ñiểm ñã cho tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một tam giác chứa tất cả các ñiểm ñã cho và có diện tích nhỏ hơn 4

Bài 76 Chứng minh rằng trong một hình tròn bán kính 1 không thể chọn ñược quá 5

ñiểm mà khoảng cách giữa hai ñiểm bất kỳ lớn hơn 1

Bài 77 Chứng minh rằng trong sáu số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại số nguyên tố với các

số còn lại

Bài 78 Trên một bàn cờ quốc tế cỡ n×n ta ñặt các quân xe thoả mãn ñiều kiện sau: nếu

có một ô nào ñó không có quân xe thì tổng số các quân xe ñứng ở cùng hành và cùng cột với ô ñó không nhỏ hơn n Chứng minh rằng trên bàn cờ có không ít hơn n quân xe

Bài 79 Có thể tìm ñược hay không năm số nguyên sao cho các tổng của hai số trong năm

số ñó lập thành mười số nguyên liên tiếp

Bài 80 Cho các số a b c, , ∈ ℕ∗ ñôi một nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm tự nhiên: xbc+yca+zab= 2abc ab bc ca− − −

II.2 Nguyên lý quy nạp

Quá trình ñi từ những khẳng ñịnh ñối với những phần tử riêng biệt của một tập A nào

ñó ñến một khẳng ñịnh tổng quát ñối với mọi phần tử của tập A ñược gọi là phép quy nạp toán học (induction) Trong khuôn khổ bài giảng, ta xét phép quuy nạp hoàn toàn và phép quy nạp lùi

II.2.1 Phương pháp quy nạp hoàn toàn

Vậy theo nguyên lý quy nạp thì ñẳng thức (*) ñúng với mọi số tự nhiên n

II.2.2 Phương pháp quy nạp lùi

Phương pháp chung : Muốn chứng minh P(k) ñúng với mọi số tự nhiên k thì ta ñi chứng

minh P(2k) ñúng; P(2k-1) ñúng

Ví dụ 6 Chứng minh BðT giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM- GM)

Cho a a1, 2, ,a là các số không âm Khi ñó : n 1 2

k k

k k

Theo nguyên lý quy nạp lùi, ta có bài toán ñược chứng minh

II.2.3 Một số bài toán minh hoạ

Bài 81 Cho dãy vô hạn các số tự nhiên u u1, 2, ñược xác ñịnh theo công thức truy hồi sau:

Bài giải

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n = 1, ta có u1= 3, và kết luận của bài là ñúng (vì ở ñây chỉ có một màu do n = 1) Với n = 2, ta có u2 = 2u1− + = 1 1 6 Ta có bài toán gốc với sáu ñiểm và dùng hai màu Vậy kết luận cũng ñúng khi n = 2

Giả sử kết luận của bài toán ñúng với n, tức là nếu tập M gồm u n ñiểm sao cho không có

ba ñiểm nào thẳng hàng, và dùng n màu ñể tô các ñoạn thẳng Khi ñó tồn tại tam giác cùng màu

Xét với n+1, tức là xét tập M gồm u n+1 ñiểm bất kì ( không có ba ñiểm nào thẳng hàng),

và dùng n + 1 màu ñể tô các ñoạn thẳng

Lấy ñiểm A là một trong các ñiểm của tập M Tập này có thể nối với u n+1− 1 ñiểm còn lại của tập M bằng u n+1− 1 ñoạn thẳng bôi màu Theo công thức xác ñịnh dãy ta ñược: ( )

1 Nếu một trong các ñoạn thẳng B B i i j( ≠ j,1 ≤ < ≤i j u n) có màu khác với α Xét u n

ñiểm B B1 , 2 , ,B n Rõ ràng không có ba ñiểm nào trong chúng thẳng hàng Chúng dùng tối

ña (n+1) - 1 = n màu ñể tô ( do không dùng màu α ) Theo giả thiết qui nạp tồn tại tam giác cùng màu

Vậy kết luận bài toán cũng ñúng với n + 1 Và ñó chính là ñpcm

+) Giả sử chứng minh ñược với n - 1

Xét k≤ 2n− 2 tập con của X ( mà mỗi chúng có số phần tử > 1

2 X ) Khi ñó ∃x∈X sao cho x chứa nhiều hơn

2

k

tập trong số các tập ñang xét⇒ Số tập hợp trong số ñang xét mà không chứa x là < 1 1

Theo giả thiết quy nạp ta ñược ñiều phải chứng minh

II.3 Nguyên lý dirichlet

II.3.1 Nội dung

Nếu nhốt n con thỏ vào m cái chuồng thì:

• Nếu n chia hết cho m thì tồn tại chuồng có lớn không ít hơn n

II.3.2 Một số bài tập minh hoạ

Bài 83 Viết n số tự nhiên thành một hàng ngang Chứng minh rằng hoặc có một số chia

hết cho n hoặc có một số số liên tiếp có tổng chia hết cho n

Nếu tồn tại một số i dể S i ⋮ n thì ta có ñiều phải chứng minh

Ngược lại thì theo nguyên lý Dirichlet, trong n số S S1, 2, ,S n phải tồn tại hai số i, j sao cho S i− ⋮S j n , khi ñó

1

i k

k j

= +

∑ ⋮ , bài toán ñược chứng minh

Bài 84 Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại một số có tổng các

chữ số chia hết cho 10

Bài giải

Xét 10 số ñầu tiên, trong ñó có một số chia hết cho 10 là A0

Khi ñó A1, A2, A3, …,A9 vẫn còn nằm trong 19 số ñó

Gọi tổng các chữ số của số A0 là a Khi ñó tổng các chữ số của các số A1, A2, A3,

…,A9 lần lượt là a, a +1, a + 2,…, a + 9 Trong 10 số này có số chia hết cho 10

Bài toán ñược chứng minh

Bài 85 Cho 100 số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh rằng tồn tại 10 số sao cho hiệu hai số bất

kỳ ñều chia hết cho 11 (ðề thi học sinh giỏi toán toàn quốc 1995)

Bài giải

Khi chia cho 11 ta nhận ñược 11 trường hợp số dư: 0, 1, 2,…, 9, 10

Ta xét 11 cái lồng: llồng thứ i bao gồm các số chia cho 11 dư i (0≤ ≤i 10) Ta có 100 chú thỏ

là 100 số ñã cho, nhốt vào 11 cái lồng nói trên Theo nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại một lồng chứa ít nhất:

Hay là tồn tai ít nhất 10 số có cùng số dư trong phép chia cho 11

Vậy tồn tai ít nhất 10 số trong 100 số tự nhiên tuỳ ý sao cho hiệu hai số bất kỳ ñều chia hết cho 11

Bài 86 Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ít nhất một cái kẹo ðể hạn chế,

mỗi tuần bà cho con không quá 12 chiếc kẹo Chứng minh rằng trong một số ngày liên tiếp nào ñó bà mẹ ñã cho con tổng số 20 chiếc kẹo

Như vậy, từ ngày n + 1 ñến ngày thứ m, bà mẹ ñã cho con tổng công ñúng 20 cái kẹo

Bài 87 Cho ña giác ñều gồm 1999 cạnh Người ta sơn các ñỉnh của ña giác bằng 2

màu xanh và ñỏ Chứng minh rằng tồn tại 3 ñỉnh ñược sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân

Bài 88 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng