Sáng kiến kinh nghiệm về một số phương pháp giải phương trình và bất đẳng thức ở trường THPT chuyên Bắc Giang.PDF

2 LỜI NÓI ðẦU Trong chương trình toán trung học phổ thông nói chung và phân môn ñại số nói riêng phần phương trình, bất phương trình vô tỷ là một trong những phần kiến thức quan trọng v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

NGUYỄN THỊ THU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Tổ: Toán - Tin

Năm học: 2010 - 2011

Mã số:

Bắc giang, tháng 4 năm 2011

1

MỤC LỤC Trang

Lời nói ñầu 1

Chương I.Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 2

I.1 Phương pháp biến ñổi tương ñương 2

I.2 Phương pháp ñặt ẩn phụ 6

I.3 Phương pháp ñánh giá 16

I.4 Phương pháp hàm số 18

I.5 Phương pháp lượng giác hoá 19

I.6 Phương pháp nhân liên hợp 21

I.7 Bài tập ñề nghị 23

Chương II Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỷ 25

II.1 Phương pháp biến ñổi tương ñương 25

II.2 Phương pháp ñặt ẩn phụ 27

II.3 Các phương pháp khác 29

II.4 Bài tập ñề nghị 32

2

LỜI NÓI ðẦU

Trong chương trình toán trung học phổ thông nói chung và phân môn ñại số nói riêng phần phương trình, bất phương trình vô tỷ là một trong những phần kiến thức quan trọng và tương ñối khó Trong các ñề thi ðại học, Cao ñẳng và các ñề thi học sinh giỏi phương trình, bất phương trình vô tỷ xuất hiện tương ñối nhiều.Tuy nhiên nhiều học sinh rất lúng túng trong việc ñịnh hướng giải và kỹ năng biến ñổi còn nhiều hạn chế.Cách phân tích ñể nhận dạng một phương trình, bất phương trình

và lựa chọn một phương pháp giải thích hợp là khó và ña dạng Nhiều thầy cô giáo cũng muốn có trong tay một hệ thống bài tập phong phú cùng một số phương pháp giải cơ bản ñể giúp các em học sinh ôn luyện tốt hơn Với lý do nêu trên tôi mạnh dạn sưu tầm, biên soạn chuyên ñề phương trình - bất phương trình vô tỷ

Trong chuyên ñề tôi cung cấp cho bạn ñọc khá ñầy ñủ các phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình vô tỷ thường gặp Chuyên ñề ñược chia thành 2 phần chính:

Phần I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Phần II: Một số phương pháp giải bất phương trình vô tỷ

Trong mỗi phần tôi nêu phương pháp giải cơ bản, một số ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự Trong các ví dụ cụ thể tôi cố gắng nêu rõ việc thành lập hệ bất phương trình tương ñương với các phương trình, bất phương trình ñã cho hoặc nêu cách nhận biết ñầy ñủ tập xác ñịnh của các biểu thức tham gia vào phương trình, bất phương trình

Với một lượng tương ñối ña dạng các ví dụ và bài tập tôi hy vọng chuyên ñề

sẽ giúp ích cho các thầy cô trong quá trình giảng dạy và các em học sinh trong học tập và ôn luyện

Trong quá trình biên soạn chuyên ñề sẽ không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của bạn ñọc ñể chuyên ñề tiếp tục hoàn thiện hơn

Xin chân thành cám ơn!

Bắc giang ngày 15 tháng 4 năm 2011

B A

−

≥ +

2

4 4

6

0 4

x x x

− + +

≥

⇔

x x

x x

x

x

4 ) 4 )(

4 3 ( 2 4 4 3 4

⇔

0 ) 4 )(

4 3 ( 2

4

x x x

4 4

x x

x

⇔ = x 4Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

Ví dụ 3 Giải phương trình sau:

x x

Thử lại ta ñược x=0 và

6

7

=

x ñều là nghiệm của phương trình

Ví dụ 4 Giải phương trình sau :

1 )

−

= +

− +

+

x x

Thử lại :x= − 1 3,x= + 1 3 là nghiệm của phương trình

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :

⇔

=

− + +

− + +

⇔

150 25 12

) 12 ( ) 2 )(

3 (

0 12

12 ) 2 )(

3 (

25 ) 2 )(

3 ( 2 2 3

2

x x

x x

x x

x x

x

x x x

x

Từ ñó ta có x = 6 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 7 Giải phương trình sau:

≥ +

−

2 3

2

9 6 2 ) 8 ( 9

0 4 6 2

x x x

x x

4 6 (

2 1

2

x

x x

Giải hệ trên suy ra nghiệm của phương trình

I.1.3 Một số phương trình biến ñổi về tích :

−+

⇔

1

00

121

1)

8

x

x x

x

Ví dụ 9 Giải phương trình sau:

3 x+ +1 3 x2 = 3 x+ 3 x2 + (9) x

Hướng dẫn:

+) Xét x = không phải là nghiệm 0

+) Xét x ≠ chia hai vế cho x ta ñược phương trình: 0

Thay vào tìm ñược x =1

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:

Ví dụ 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− = 1 6

Hướng dẫn: ðiều kiện: 1 ≤ x ≤ 6

Nhận xét :ðối với cách ñặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết ñược một lớp

bài ñơn giản, ñôi khi phương trình ñối với t lại quá khó giải

I.2.2 ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2 ñối với 2 biến:

*) Chú ý: Chúng ta ñã biết cách giải phương trình: u2+αuv+βv2 = (1) 0

11

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu

ta bình phương hai vế thì ñưa về ñược dạng trên

I.2.5 Phương pháp ñặt ẩn phụ không hoàn toàn

*) Chú ý:Từ những phương trình tích

12

( x+ −1 1)( x+ − +1 x 2)= ,0 ( 2x+ −3 x)( 2x+ − +3 x 2)= 0

Khai triển và rút gọn ta sẽ ñược những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, ñộ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ ñó chúng ta mới ñi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải ñược thể hiện qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Giải phương trình sau :

I.2.6 ðặt nhiều ẩn phụ ñưa về tích

I.2.6.1 Phương pháp: Xuất phát từ một số hệ “ñại số “ ñẹp chúng ta có thể

tạo ra ñược những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại ñặt nhiều ẩn phụ

và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ ñể ñưa về hệ

13

Hướng dẫn : ðặt

235

22

4

11

22

  , từ ñó tìm ra v rồi thay vào tìm

nghiệm của phương trình

Ví dụ 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− = 1 6

33

I.2.8 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ ñối xứng loại II

I.2.8.1 Phương pháp: Ta hãy ñi tìm nguồn gốc của những bài toán giải

phương trình bằng cách ñưa về hệ ñối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình ñối xứng loại II sau : ( )

2 2

Trừ hai vế của phương trình ta ñược (x−y x)( +y)=0

Giải ra ta tìm ñược nghiệm của phương trình là: x = +2 2

Ví dụ 2 Giải phương trình sau:

 ñây không phải là hệ ñối xứng loại 2

nhưng chúng ta vẫn giải hệ ñược , và từ hệ này chúng ta xây dưng ñược bài toán phương trình sau :

Ví dụ 1.Giải phương trình sau:

*) Chú ý : Khi ñã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay α β; bằng cách viết lại

phương trình, ta viết lại phương trình như sau:

(2x−3)2 = − 3x+ + +1 x 4

khi ñó ñặt 3x+ = −1 2y+ , nếu ñặt 23 y− =3 3x+ thì chúng ta không thu ñược 1

hệ như mong muốn , ta thấy dấu của α cùng dấu với dấu trước căn

Như vậy ñể xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét ñể có hàm ngược và tìm ñược

và hơn nữa hệ phải giải ñược

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

51

Chuyển phương trình về một trong các dạng:

Dạng 1: ( )f x = trong ñó k f (x)là hàm ñơn ñiệu

Dạng 2: ( )f x =g x( ) trong ñó hai hàm số y = f (x) và y = g (x)có tính chất ñơn ñiệu trái ngược nhau

Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình

Nâng lên luỹ thừa bậc 4 hai vế ta ựược: x2+ f(x) =x+ 80 với f (x) là hàm ựồng biến

đánh giá nếu x >1 và x <1 thì hai vế của phương trình không bằng nhau ta ựược

x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ựã cho

I.5 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

I.5.1 Một số kiến thức cơ bản:

  sao cho : x=tant

+) Nếu : x , y là hai số thực thỏa: x2+ y2 = , thì có một số t với 01 ≤ ≤t 2π , sao cho x=sin ,t y=cost

I.5 2 Phương pháp giải toán :

Nếu : x ≤ − thì ñặt sin t1 = với x ;

4x3−12x2+9x− =1 2x−x2 (3)

Việc giải phương trình (2) và (3) không ñơn giản chút nào ?

Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác

2 2 2

2

2

11

1

x x

x

x x x

++

2sin cos 2t t+cos 2t− = ⇔1 0 sin 1 sint − t−2sin t = 0

Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm 1

1 2 cos

x x

I.6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP:

I.6.1 Phương pháp:

24

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm ñược nghiệm x như vậy phương 0

trình luôn ñưa về ñược dạng tích (x−x0)A x( )= ta có thể giải phương trình 0

( ) 0

A x = hoặc chứng minh A x = vô nghiệm , chú ý ñiều kiện của nghiệm của ( ) 0

phương trình ñể ta có thể ñánh gía A x = vô nghiệm ( ) 0

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A+ B = , mà : A B C − =αC

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 2 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 ñề nghị) :

2 5

x x x

<

− +Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 4 Giải phương trình sau :

+

0 ) (

0 ) ( )

( )

(

2

x g x f

x f

x g x

g x

0 ) (

0 ) ( )

( )

(

2 x g x f

x f

x g x

g x

0 ) ( 0 ) (

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

f

x g x

g x

0 ) ( 0 ) (

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

f

x g x

g x

0 ) (

0 ) ( )

( )

(

2 2

x g x f

x f

x g x

g x

0 ) (

0 ) ( )

( )

(

2 2

x g x f

x f

x g x

g x

0 ) ( 0 ) (

0 ) ( )

( )

2

x g x f

x g x

f

x g x g x

0 ) ( 0 ) (

0 ) ( )

( )

2

x g x f

x g x

f

x g x g x

1.9 3 f(x) ℜg(x) ⇔ f(x) ℜg3 (x)

) ( )

( )

( )

(

x g

x g x

f x

g x

vì các ñiều kiện ñó ñã bao hàm trong các hệ thức ở vế phải của ñịnh lý

II.1.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1 Giải bất phương trình sau:

2

2 10

3

0 2

0 10 3 )

1

(

x x

x x

x x

5 2

x x

x x

⇔ 5 ≤x < 14

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [5;14)

Ví dụ 2 Giải bất phương trình sau:

0 3 0

4

0 3

x x x

x x

x x

0

3

x

x x

x x

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

0 2

x

2 52

0 2

2

13 2 2

x

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [−2 13;−4) (∨ 2;2 13]

Ví dụ 4 Giải bất phương trình sau:

⇔

2 2

2

) 3 6 ( 2

8

0 3 6

0 3 6

0 2

8

x x

x x x

x x

2

4 2

2

x x x x

4 2

II.2.2.Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 5 Giải bất phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (− ∞ ; − 1) (∨ 4 ; +∞)

Ví dụ 6 Giải bất phương trình sau:

3 2 −x + x− 1 > 1 (6)

Hướng dẫn

ðiều kiện: x≥ 1

1 1

0 1

0 1

0 1

t t

t t t

2 3 3

t t t t t t

≤

⇔

0 ) 2 (

1

2

t t t

0

2 2

3 3

10

x x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( ) (1 ; 2 ∨ 10 ; +∞)

Ví dụ 7 Giải bất phương trình sau:

2 1 3

1 − + >

x x

⇔(t+ 1) (2 2t− 1)< 0

2 1

0 1 2

Kết hợp với ñk ta có: 0<t<

2

1

4

1 1

0 < + <

⇒

x x

; 3

4

Ví dụ 8 Giải bất phương trình sau:

x− 1 +x− 3 ≥ 2 (x− 3 ) 2 + 2x− 2 (8)

Hướng dẫn

ðk: x≥ 1

ðặt u = x− 1 ; v = x - 3 (u≥ 0 )

≥ +

2 2 2

0

v u uv v u

v u

v u

1

x x

3

x x

Ví dụ 9 Giải bất phương trình sau: 1

4

3 5

<

−

− +

4

<

+ +

−

−

⇔

x x

x

1

3 5

1

<

+ +

⇔

x ⇔ x+ 5 + 3 > 1 ⇔ x+ 5 > − 2 KL: Tập nghiệm của bất phương trình là S = [− 5 ; 4) (∨ 4 ; +∞)

Ví dụ 10 Giải bất phương trình sau:

13

23

1

++

≤+

x

x x

cos 2 sin 1

t t

x 〉+

Nếu x > 0 thì h(x) > h(0) = 13 => x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Nếu − ≤ ≤ 2 x 0thì h(x) < h(0) = 13 =>− ≤ ≤ 2 x 0không phải là nghiệm

KL: Tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 0; +∞)

Ví dụ 12 Giải bất phương trình sau:

≥ u
v
u
v

x

x x

−3

0107

2

x

x x

−+

x

x x

7 2− +4 −3≥ 2

x

x x

8 (x-3) x2− 4 ≤x2 − 9

9 1

1

3 1

34

15 2 2

) 2 3 1 )(

10 2 ( ) 1 (

1

2

x x

3

x

x x

23

2

1 1

3 −x − x+ >

24 x− 2 + 4 −x ≥x2 − 6x+ 11

25

169

8122

242

x

x x

26 1

1

3 1

30

2

5 1

35

Tài liệu tham khảo

[ 1 ] Nguyễn Xuân Liêm.Chuyên ñề về bất ñẳng thức và bất phương trình Nhà xuất bản Giáo dục 1997

[ 2 ] Trần Phương Giải ñề thi tuyển sinh Nhà xuất bản Giáo dục 1995 [ 3 ] Phạm quốc Phong Bồi dưỡng ðại số 10 Nhà xuất bản ðHQG Hà nội