b/ Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, tìm điểm cố định ấy... Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của O và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC.. Qua B kẻ đường thẳng song song vớ
Trang 1Đề và HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013
Thời gian làm bài 150 phút không kể giao đề.
Câu 1 (2,5đ)
Cho biểu thức Q =
2
a/ Với giá trị nào của x thì Q xác định
b/ Rút gọn Q
c/ Tìm giá trị của x để Q = 2012 x - 2012
a/ Để biểu thức Q xác định, x thỏa mãn điều kiện:
2
0
1
x
x
≥
b/ Với x ≥ 0 và x ≠ 1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q bằng cách:
đặt x = ≥ ⇒ =a 0 x a2 ; x2 =a4 ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
4
2
1
Q
c/ Q = 2012 x - 2012 ⇔ x( x− 1) = 2012 x - 2012 ⇔ x( x− − 1) 2012( x− = 1) 0
4048144
2012 0
x x
Kết hợp với ĐKXĐ: x ≥ 0 và x ≠ 1 ⇒ x = 4048144 là giá trị cần tìm
Trang 2Câu 2 (1,5đ)
Giải hệ phương trình:
2
2 2
1
Giải hệ phương trình:
2
2 2
* (1) ⇔ 6x2 – 3xy + x + y – 1 = 0 ⇔ 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – 1 = 0
⇔ 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = 0 ⇔ (2x – y + 1)(3x – 1) = 0
⇔
1
3
x y
* Kết hợp với (2) ta có:
2 2
1 1
3 3
2 2 1
3
x x
=
và 2 2
1
⇔
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x, y) ∈ ( )0;1 ; 4; 3 ; 1 2 2; ; 1; 2 2
Câu 3 (2,0đ)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2
a/ Vẽ (d) với m = 3
b/ Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, tìm điểm cố định ấy c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất
a/ Với m = 3 ta có y = - 4x + 2
Giao với trục tung Oy tại điểm (0 ; 2)
Giao với trục hoành Ox tại điểm (0,5 ; 0)
Ta có đồ thị hàm số như hình bên y = - 4x + 2
O
1 2
2 y
x
Trang 3b/ Gọi điểm cố định mà mọi đường thẳng(d) đi qua là M(x0; y0) ta có:
2(m – 1)x0 + (m – 2)y0 = 2 với mọi m ⇔ (2x0 + y0)m – 2(x0 + y0 + 1) = 0
m
vậy tọa độ điểm cố định là M(1; - 2)
Cách khác: Với m = 2 ta có đường thẳng x = 1, với m = 1 ta có đường thẳng y = -2; thay x= 1; y = - 2 vào phương trình ta có:
Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ (1; - 2) với mọi m
c/ 2(m – 1)x + (m – 2)y = 2 ⇔ 2( 1) 2
m
− − Vì (d) không đi qua gốc O(0; 0)
Gọi A, B lần lượt là giao của (d) với hai trục tọa độ Oy và Ox ta có tọa độ giao điểm là A(0; 2
2
m− ) và B(
1 1
m− ; 0) Gọi H là hình chiếu của O trên AB, xét ∆AOB vuông tại O
OH
5 4
OH
m
; Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 6
5
Vậy độ dài OH lớn nhất ⇔ m = 6
5 , khi đó ta có OH = 5 (đv dài)
Câu 4 (3,0đ)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I Vẽ đường kính BB’, đường này cắt MC, B’C lần lượt tại K và E Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MOIC nội tiếp được
b/ OI vuông góc với Mx
c/ ME = R
d/ Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đường nào ? Tại sao ?
Trang 4a/ Vì MB, MC là 2 tiếp tuyến của (O) (gt)
⇒ OM là tia phân giác của ·BOC (t/c…)
2
MOC = BOC (1)
Lại có · 1·
2
BAC = BOC (hệ quả góc nội tiếp) (2)
Mà BAC MIC· =· (đồng vị do MI // BA) (3)
x E
K
B' I
A
O
C
B
M
Từ (1), (2), (3)⇒ MOC MIC· = · ⇒ Tứ giác MOIC có 2 đỉnh kề nhau O và I cùng nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới cùng một góc nên nội tiếp được trong một đường tròn
(theo tính chất quỹ tích cung chứa góc)
b/ Vì tứ giác MOIC nội tiếp (theo trên) ⇒ MIO MCO= · = 90 0(hệ quả góc nội tiếp)
c/ Xét ∆MBO vuông tại B và ∆EOB’ vuông tại O có:
OB = OB’ (= R) và · · ' ( 1· )
2
MOB EB O= = BOC ⇒∆MBO = ∆EOB’ (g.n - c.g.v kề)
⇒ MB = OE
Mặt khác lại có MB // OE (cùng vuông góc với BB’)
⇒ Tứ giác MBOE là hình bình hành (dh 3) ⇒ ME = BO = R
d/ Khi OM = 2R ⇒ BMC· = 60 0 mà MB // OE ⇒ OKC =BMC· = 60 0
⇒ ∆OKC vuông tại C có OK = 2 3
3
0
cos30 = không đổi ⇒ Khi M di động luôn thỏa mãn OM = 2R thì K luôn cách O cố định một khoảng OK 2 3
3
R
= không đổi nên K chạy
trên đường tròn tâm O bán kính OK 2 3
3
R
=
Câu 5 (1,0đ)
Tìm giá trị của x, y để biểu thức:
M = x2 + 2y2 − 6x+ 4y+ + 11 x2 + 3y2 + 2x+ 6y+ 4 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Trang 5mà ( )2 ( )2
3 −x + x+ 1 = − + + ≥ − + + = 3 x x 1 3 x x 1 4
Dấu “=” xảy ra ⇔ y = -1 và –1 ≤ x ≤ 3; Vậy minM = 4 ⇔ y = -1 và – 1 ≤ x ≤ 3
- hết