Cho tam giỏc ABC vuụng tại A AC > AB, đường cao AH H∈BC.. Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng ming rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồn
Trang 1TRƯỜNG THCS TRUNG PHÚ
THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ TOÁN 9
(Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1
a, Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
2
b, So sỏnh:
6 + 20 à 1v + 6;
c, Chứng minh rằng:
5 − 3 − 29 12 5 − = tan450
Bài 2 Giải phương trỡnh:
3
Bài 3 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
)
a
a b b c c a
b
+ + <
Bài 4 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC) Trờn tia
HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng ming rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng Tớnh độ dài đoạn thẳng BE theo m= AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
+ .
Bài 5 :
Chứng minh rằng : 1 4k+ 2 4k+ 3 4k+ 4 4k khụng chia hết cho 5 với mọi k∈N
Trang 2+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE =CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: ã ã 0
135
BEC=ADC= (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên ã 0
45
AEB= do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BE= AB 2=m 2
1.5điểm 1điểm
Ta có: 1 1
BC = ìBC = ìAC (do BEC∆ : ∆ADC)
mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông cân tại H)
BC = ìAC = ì AC = AB = BE (do ABH∆ : ∆CBA)
Do đó BHM∆ : ∆BEC (c.g.c), suy ra: ãBHM =ãBEC= 135 0 ⇒ãAHM = 45 0
1.5điểm 1điểm
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: GB AB
GC = AC , mà AB ED( ABC DEC) AH(ED AH// ) HD
Do đó: GB HD GB HD GB HD
GC = HC ⇒GB GC = HD HC ⇒ BC = AH HC
1điểm