3,5 điểm: Cho hình thang vuông ABCD vuông tai A và D với đáy lớn AB có độ đài gấp đôi đáy nhỏ DC.. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HA,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐÈ THỊ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 - 2015
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gia giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P -( segs)
x-Vx vx -1 “x-2Vx 41
voix >0,x #1
1 Rut gọn biểu thức P
2 Tìmx đếP =-I
Câu 2 (2,0 điểm):
x+my=m+1 Cho hé phuong trinh: | (m là tham số)
1x + y= 2m
1 Giải hệ phương trình khi m = 2
2 Tìm m đê hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x; y) thoả mãn: Ù sy
y>
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho Parabol (P): y = x” và đường thẳng (d): y = 2x + m (m là tham số)
1 Tim toạ độ giao điểm của (đ) và (P) khi m =3
2 Tim m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x¡, x; thoả mãn:
Xj+X?+X,+X,= 2014
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho hình thang vuông ABCD (vuông tai A và D) với đáy lớn AB có độ đài gấp đôi đáy nhỏ
DC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HA,
HB và I là trung điểm của AB
1 Chứng minh: MN L AD và DM L AN
2 Chứng minh: các điểm A,EN,C,D nằm trên cùng một đường tròn
3 Chứng minh: AN.BD = 2DC.AC
Câu 5 (0,5 điểm):
Cho 3 số dương a, b, c thoả man: ab + be + ca = 3abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
=—————+‡+—+*+—
- HET -
Họ và tên thí sinh: SỐ ĐẢO đạnH:
Trang 2ĐÁP ÁN (Không chính thức)
Cho biểu thức: P= ety) Se với x> 0, xz 1,
1 Rut gon biéu thức P
2 TìmxđêP=-I
1 Vớix>0,xz | thi:
X*x@x-!) ⁄x-1J (x-Đ
" Vex) NET ke
¬ ẲN ccceeepennnnennennnnnnnnnnneenennenneenetneenneenesnesnef eee
x
2 Voi x = 0, x #1, thì:
oe VN be
Cho hệ phương trình: f *my=m-+" ml tham số)
mx+ y= 2m
2 Tim m đê hệ phương trình có nghiệm duy nhat (x; y) thoả mãn: Ũ 5
+2y=3
1 Vớim =2, hệ phương trình đã cho trở thành: b y 0,25
Trang 3
x+my=m+l (I)
2 Xét hệ: |
mx+y=2m (2)
0,25
Từ (2) => y= 2m-— mx, thay vao (1) ta được:
x+ m(2m~ mx) =m + 1 © (mỶ - l)x=2m°—-m-I (3)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất © (3) có nghiệm duy nhất 025
Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
x= 2m? - m-1 _ (m-I)(2m+I)_ 2m+l,
y = 2m—mx= m(2- x)= m(2- 7m+Ị _ a
cooeeeeseceeseeseseetesepeeseeneseeteeeenees "
2m+1 >2 cl, 0
Két hop voi (*) ta duge gia trim can tim la: m<-1
Cho Parabol (P): y = x” và đường thang (d): y = 2x + m (m là tham số)
2 Tim m đề (d) căt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ xị, x› thoả mãn: ;
xj+xj+ x,+x, = 2014
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) va (P) la x? = 2x + 3 © x”— 2x— 3= 0
0,25
Với x = x¿ = 3 — yị = 3ˆ =9
Vậy toạ độ giao điểm của (đ) và (P) lần lượt là: (-1 ; 1) và (3 ; 9) 0,25
2 Phuong trinh hoành độ giao điềm của (4) và (P) là: xÌ = 2x + me>x”=2x—m=0 | 0.44
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt © phương trình hoành độ có hai nghiệm phân biệt 025
are , |X +X, =2
Theo định lí Vi-et, ta có:
xX, X; =-m
Theo gia thiét: x7 + x}+x,+x, = 2014 < (x, +x,)’—2x,x,+x,+x, = 2014
© 4+2m+2= 2014 2m = 2008 & m= 1004 > -1 (thoa mãn)
Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D) với đáy lớn AB có độ dài gấp đôi đáy
nhỏ DC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của HA, HB và I là trung điểm của AB
2 Chứng minh: các điểm A, I,N, C, D nằm trên cùng một đường tròn
Trang 4
M
1 AHAB cé MH = MA (gt), NH = NB (gt) 0.25
=> MN là đường trung bình của AHAB => MN // AB
Ma AD L AB (vi A= 90°) = MN L AD 0,25
=> NM và AH là hai đường cao của AADN => M là trực tâm của AADN ;
2 Vi MN là đường trung bình của AHAB > MN // AB, MN = SAB
=SDC/MN,DC=MN 222222 2222
_Mà DM_L AN (chứng minh trên) CN L ÂN ANC=90) | 05
Mặt khác, xét tứ giác ADCI có: DC // AI (vì DC // AB), DC = AI (vì cùng bằng 2A) 025
Ta có: ADC= ANC= AIC= 90° = các điểm A, I, N, C, D nằm trên cùng một đường tròn | 9 95
3 Xét đường tròn đường kính AC có: WN = WON (hai góc nội tiếp cùng chắn WN) 0.25
Xét AABD và ANAC có: ĐAB= CNA = 90°, ADB= ACN (chứng minh trên) 025
Cho 3 sô dương a, b, c thoả mãn: ab + be + ca = 3abc Tìm giá trị lớn nhât của biểu
thire: F = ———— + ——— _ + —— _.,
Trang 5
Với a, b> 0 ta có: 4ab <(a+bj+—l_<4‡D I Ill
a+b_ 4ab a+b 4\a b
Dấu bằng có © a =b
Áp dụng kết quả trên, ta có:
t = > S$ -] — + > JES tt
a+2b a+— b) 3b 4 a+— b — 3b] 2 2a+b 6b
2 2
1 1 1
b+2a 2 a+2b 6a
a+2b 2 2a+b 6b 4 a+2b 12a 6b
eiti<t tet <t,%
4 a+2b 12a 6b a+2b 9a 9b
Tương tự:
Suy ra; —_!_ _<1 | at <1 12,4 (1)
a+2b+3c 4\a+2b 3c) 4\9a 9b 3c
2a+3b+c 4\9a 3b 9c
¬¬ 6)
3a+b+2c 4\3a 9b 9c Suy ra
a+2b+3c 2a+3b+c 3a+b+2c 4\3a 3b $c 6 abc 6 2
Các bát đẳng thức (1), (2) và (3) có dau bằng xảy ra © a = b= c
Còn bất đẳng thức (4) có dấu bằng xảy ra © a= b=c = I
Vậy F„„.- Ì «a=b=e=l
0,25
0,25