Vẽ MP vuông góc với AB P thuộc AB, vẽ MQ vuông góc với AE Q thuộc AE a Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật.. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.. Chứ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2010 – 2011 KHÓA NGÀY 22/06/2010 MÔN THI: TOÁN THỜI GIAN: 120 PHÚT Câu 1: (2 điểm)
Giải phương trình và các hệ phương trình sau:
a) 2x23x 2 0
c) 4x413x2 3 0
d) 2x22 2x 1 0
Câu 2: (1.5 điểm)
a) Vẽ đồ thị P của hàm số
2
2
x
y và đường thẳng : 1 1
2
D y x trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của P và D ở câu trên bằng phép tính
Câu 3: (1.5 điểm)
Thu gọn các biểu thức sau:
Câu 4: (1.5 điểm)
x m x m m ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x x là các nghiệm của phương trình Tìm 1, 2 m để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
2 2
1 2 3 1 2
A x x x x
Câu 5: (3.5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn
O khác A và B Các tiếp tuyến của O tại A và M cắt nhau tại E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật
b) Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng Suy ra K là trung điểm của MP
d) Đặt AP x Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên O để h ình chữ nhật APMQ có
diện tích lớn nhất
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (2 điểm)
a) 2x23x 2 0
Phương trình có 2 nghiệm:
1
2
3 5
2
b x
a b x
a
; 2 2
S
1 y 4x 1
Thay vào 2 ta được:
1 2
x x x
2
Vậy nghiệm của hệ là: 1
; 3 2
c) 4x413x2 3 0
0
t x t
Phương trình trở thành: 4t213t 3 0
Phương trình có 2 nghiệm:
1
2
13 11
3
b t
a b t
a
Với t 3 x 3
Trang 3Vậy 1 1
; ; 3; 3
2 2
d) 2x22 2x 1 0
Phương trình có 2 nghiệm:
1
2
2
2 2 2
b x
a b x
a
;
S
Câu 2: (1.5 điểm)
a) Bảng giá trị hàm số
2
2
x
y
Đồ thị
6
4
2
2
4
6
8
10
g x ( ) = x
2 1
f x ( ) = x
2
2
b) Phương trình hoành độ giao điểm của P và D :
2
2
1
Trang 4Ta thấy: 1 1 2 nên phương trình có 2 nghiệm 0 1
2
1 2
x x
x y
x y
Vậy tọa độ giao điểm của P và D là: 1
1;
2
và 2; 2
Câu 3: (1.5 điểm)
3
.3 5
10
Câu 4: (1.5 điểm)
x m x m m ( x là ẩn số)
a) Có:
2 2
Ta thấy: m 0 , nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Trang 5b) Do phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m nên theo định lý viet ta có:
2
Có:
2 2
2
2
3
5
,
Với x1x2 3m1, x x1 2 2m2m 1
Suy ra
2
2
2
6
6
m
Ta thấy
2
A m
1 2
m
Vậy giá trị lớn nhất của A là 25
4 khi
1 2
m
Câu 5: (3.5 điểm)
x
K
I
P Q
E
B
O A
M
Trang 6a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn và APMQ là hình chữ nhật
EAOEMO nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối
bù nhau)
Xét tứ giác APMQ có //
//
nên là hình bình hành và EAO 900 Suy ra APMQ là hình chữ nhật
b) Gọi I là trung điểm của PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng
Câu trên APMQ là hình chữ nhật nên I cũng là trung điểm AM
Theo tính chất tiếp tuyến thì EO là trung trực của AM, nên EO đi qua I
Suy ra E, I, O thẳng hàng
c) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng dạng Suy ra K là trung điểm của MP
nên MB//EO
Và AE//MP (cùng vuông góc AB), suy ra EOAPBM (góc đồng vị)
Vậy EAO MPB (2 tam giác vuông có 1 góc bằng nhau)
Ta có: AE AO 1
Và ta cũng có: EAB KPB(2 tam giác vuông có 1 góc bằng nhau)
Ta có: AE AB 2AO 2
2
MP PB KP , suy ra K là trung điểm MP
d) Đặt APx Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên O để h ình chữ nhật APMQ có
diện tích lớn nhất
Tam giác AMB vuông tại M nên có:
2
2
2 2
Diện tích hình chữ nhật APMQ là: MP AP x x2Rx
2 3
x
Trang 72
3 3
R
Đẳng thức xảy ra khi
2
3 3
2
x
R x
R
Vậy diện tích MPAQ lớn nhất khi M thuộc đường tròn sao cho P là trung điểm OB
HẾT
