Gọi O là trung điểm của XY; I là điểm thuộc đường phân giác của góc XAY sao cho OI không vuông góc với XY và I không thuộc hai đường tròn.. Chứng minh rằng OE là tiếp tuyến của đường tr
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII
MÔN TOÁN - KHỐI 11
Ngày thi: 18/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này có 05 câu; gồm 01 trang)
Câu 1( 4 điểm ) Giải hệ phương trình
( , ).
x y
Câu 2 ( 4 điểm) Cho dãy số 2
1
1
n
n
n
u
Tính giới hạn limn n
u n
Câu 3 ( 4 điểm) Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A B, AX AY, lần lượt là các đường kính của O1 và O2 Gọi O là trung điểm của XY; I là điểm thuộc đường phân giác của góc XAY sao cho OI không vuông góc với XY và I không thuộc hai đường tròn Đường thẳng đi qua A vuông góc với AI lần lượt cắt các đường tròn O1 , O2 tại các điểm E F, khác A IX cắt đường tròn O1 tại điểm thứ hai K, IY cắt đường tròn O2
tại điểm thứ hai L
1 Gọi C là giao điểm của EF với IX Chứng minh rằng OE là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác CEK
2 Chứng minh rằng ba đường thẳng EK FL, và OI đồng quy
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn:
( ( )) ( ) ( ) , ,
f xxy f y f x f y x y
Câu 5 ( 4 điểm) Một bảng ô vuông kích thước 3x3 được gọi là bảng “ 2015- hoàn thiện” nếu
tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm ( không nhất thiết phân biệt ) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 2015
Hỏi có tất cả bao nhiêu bảng “ 2015- hoàn thiện” sao cho số nhỏ nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng ?
( Đường chéo chính của bảng vuông là đường nối ô vuông ở góc trên cùng bên trái với ô
vuông ở góc dưới cùng bên phải )
.HẾT
Họ và tên thí sinh ……… SBD………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
( Hướng dẫn chấm này có 05 trang)
Câu 1
Điều kiện :
1 0
0 4 ) 1 ( 4
0
2 2
2
2 2
xy y
x
xy xy
y x
y x
Ta có :
2
2 2 1 1 1 2 2 1
xyx y xy xyx y
khi xy =
2
1
)
0,5
Do đó từ (1) 2x6 4x3 20y2 1 (3) 0,5
Từ (2) và (3) ta suy ra :
4 ) 2 ( 2 20 4
2 4 28 4
8x3y x3 y2 x6 x3 y2 x y 2
8x3y 4 2x6 8y2 2 x 2y2 4 4x3y 2 x6 4y2 x 2y2 4
2 x3 2y2 x 2y2 4 (4)
Ta lại có x3 2y2 x 2y2 4 2 0,5
Do đó (4)
0 2
0 2 3
y x
y x
0
0
y
x
hoặc
2 1
1
y
x
hoặc
2 1
1
y
Thử lại ta thấy chỉ có
2 1
1
y
x
là nghiệm của hpt
0,5
Câu 2
Ta chứng minh quy nạp
2
1 , 1
1 n
n
1,0
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1
Giả sử đã có
2
1, 1
1 k
k
ta chứng minh 2
1
1
2
k
1,0
Thật vậy
2 1
1
1
k
k k
1
1 1
k
k
k
k
1,0
Trang 3Vậy ta có
2
1
n n
n
1,0
Câu 3
1
1 Không mất tính tổng quát giả sử I là điểm thuộc đường phân giác trong của góc XAY
Ta có tứ giác AO OO1 2 là hình bình hành nên suy ra OO1 || AY
Lại có EA EO, 1 AO AE1, AF AO, 2 modEO1|| AY
Do đó O O E, 1, thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có
O O F2 thẳng hàng
0,5
Mặt khác
O E O K EO EK
2 1
Do đó OE là tiếp tuyến của đường tròn CEK
0,5
2
2 Ta có AKI ALI 0
90 nên 4 điểm A I K L, , , cùng thuộc đường tròn đường kính AI
Mà EF AI nên suy ra EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
AI
Do đó AE AK, LA LK, mod (1)
0,5
Mặt khác
AE AX
2
0,5
S
D C
F E
L K
O
Y
X
B
A
O 1
O 2
I
Trang 4AY AF, AF FY, AY AF, AY FY, LA LF, mod
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
EF EK, EA AK, AK EK, LA LK, LF LA, LF LK, mod
Vậy 4 điểm E F L K, , , cùng thuộc một đường tròn
Gọi S là giao điểm của EK và FL
Vì 4 điểm E F L K, , , cùng thuộc một đường tròn nên ta có
SE SK SF SL P P (3)
0,5
Ta có IC IK ID IL IA 2 P I CEK/ P I/ DFL
(4)
0,5
Gọi D là giao điểm của EF với IY
Chứng minh tương tự câu 1) ta có OF là tiếp tuyến của đường tròn
DFL Mặt khác tứ giác EFYX là hình thang vuông tại E F, và O là trung điểm của XY nên suy ra OEOF Do đó
P OE2 OF2 P
(5)
0,5
Từ (3), (4), (5) suy ra S O I, , cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn CEK , DFL nên S O I, , thẳng hàng Vậy 3 đường thẳng EK FL OI, , đồng quy tại S
0,5
*) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng thì phải xét các trường hợp
vị trí của điểm I ( I nằm ngoài các đoạn XK YL, và I nằm trong các đoạn
,
XK YL )
Câu 4
Dễ thấy hàm f hằng không thỏa mãn Ta xét f không hằng
0,5
( ( )) ( ) ( ) , , (1)
f xxy f y f x f y x y
Trong (1) cho y=-1 ta được:
f f f x f x
Rõ ràng nếu ( 1) 1 0
2
( 1) 0 ( 1)
0,5
Ta sẽ chứng minh: ( ) 1 0 1
2
Trang 5Thật vậy, giả sử tồn tại a 1 sao cho ( ) 1
2
f a
Trong (1) chọn y a ta có: ( 1) 0,
2
Mâu thuẫn vì f không là hàm hằng Do đó ta có: a 1
1,0
Chú ý là ( 1) 1
2
2
f
Trong (1) chọn
1 ( )
1
f y
y
ta được:
1 ( )
2
f y
y
1,0
1
Suy ra ( ) 1, 1
2
f y y y
Do ( 1) 1
2
2
Thử lại ta có hàm số cần tìm là ( ) 1,
2
0,5
0,5
Câu 5
Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “m hoàn thiện” kích thước 3x3
Gọi , , ,x y z tlần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1 cột 2 , khi đó các số còn lại ở các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới
2,0
Trang 6Vì các số được điền là không âm và y là số nhỏ nhất trong các số ở
đường chéo chính nên các điều kiện sau phải thỏa
x y z t x t m x t z z y t m
Các điều kiện trên có thể rút gọn lại thành
0 y min x y z, , ;x t m z; y t *
Khi đó 0 y 2y t z x y t z x t m
Ta thấy rằng bộ bốn số không âm y;2y t z x; y t z x; t sắp theo thứ tự tăng dần xác định duy nhất bộ các số , , ,x y z t thỏa mãn * và
tương ứng với một cách lập bảng “m hoàn thiện” Do vậy, số cách lập được là 4
4
m
C
Áp dụng với m 2015 được kết quả là C20194
1,0
1,0
Chú ý khi chấm:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất chi tiết nhưng không được quá số điểm dành cho câu, phần đó
2 Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả
tổ chấm Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm
3 Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi thống nhất trong tổ chấm và
ghi vào biên bản