Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang.. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
S
+ + + +
=
+ + + +
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy
Bài 3 (3 điểm)
Giải phương trình:
a) x2 +4x 5 2 2x 3+ = +
b) 3x2 +6x 7+ + 5x2 +10x 14 4 2x x+ = − − 2
Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau tại I Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M
Bài 5 (2 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E Xác định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán
Sơ lược lời giải và thang điểm
Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
S
+ + + +
=
+ + + +
Giải: ∀ n ∈ N, ta có:
2
+ = + + − = + ÷ − = + + ÷ − + ÷
(0,5 điểm)
Mặt khác: n2 n 1 (n2 2n 1) (n 1) 1 (n 1)2 (n 1) 1
− + = − + + − + = − + − + (2)
(0,5 điểm)
Áp dụng (1) và (2) để tính S, ta được:
S
S
=
=
2
2
1
2
2
(0,5 điểm)
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x3 + y3 + 2xy
Giải: Ta có: (a – b)2 ≥ 0 ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ –4ab ≥ –(a + b)2 (0,5 điểm)
Áp dụng vào biểu thức A, ta có:
A = (x + y)3 – 3xy(x + y) + 2xy
= 8 – 6xy + 2xy
= 8 – 4xy ≥ 8 – (x + y)2 = 8 – 4 = 4 (0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y mà x + y = 2 (gt) ⇒ x = y = 1
Trang 3Bài 3 (3 điểm)
Giải phương trình:
a) x2 +4x 5 2 2x 3+ = + (1)
b) 3x2 +6x 7+ + 5x2 +10x 14 4 2x x+ = − − 2
Giải:
a) (1,5 điểm) Điều kiện: x 3
2
Ta có: (1) ⇔ (x2 +2x 1) (2x 3 2 2x 3 1) 0+ + + − + + = (0,5 điểm)
2x 3 1 0
+ =
+ − =
Vậy: Phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 (0,5 điểm)
b) (1,5 điểm)
Ta có: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4
5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ≥ 9
Do đó: 3x2 +6x 7+ + 5x2 +10x 14+ ≥ 4 + 9 2 3 5= + =
(0,5 điểm)
Mặt khác: 4 – 2x – x2 = 5 – (x + 1)2 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1 (2)
(0,5 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra: 3x2 +6x 7+ + 5x2 +10x 14 4 2x x+ = − − 2⇔ x = –1 Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1
(0,5 điểm)
Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau tại I Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M
Giải:
– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N ⇒ BCND là hình bình hành Suy ra: BC = DN
(1 điểm)
– Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt) Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM
Do đó: M là trung điểm của AN
(0,5 điểm)
– Vì CN // BC mà BD ⊥ AC ⇒ CN ⊥ AC Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến
⇒ 2CM = AN Hay: CM = AM
M
F E
N D
A
I
Trang 4Vậy: ∆AMC cân tại M
(0,5 điểm)
Bài 5 (2 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E Xác định vị trí của D và E để diện tích ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
– Kẻ MF ⊥ AB, MG ⊥ AC
⇒ AFMG là hình chữ nhật
(0,5 điểm)
– Ta có: MD ≥ MF và ME ≥ MG (tính chất đường xiên, hình chiếu)
(0,5 điểm)
Do đó: SDME 1MD.ME 1MF.MG Const
Dấu "=" xảy ra ⇔ D ≡ F và E ≡ G
(0,5 điểm)
Vậy: Khi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên
AB, AC thì diện tích của ∆DME đạt giá trị nhỏ nhất
(0,5 điểm)
Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên.
G
A
B
D