Câu 1(2,0 điểm). Cho biểu thức: (với ) . a) Rút gọn biểu thức . b) So sánh và . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình: . b) Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Tìm tọa độ các điểm tương ứng thuộc các tia , sao cho tổng có độ dài nhỏ nhất. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm số nguyên sao cho: là số chính phương. Câu 4 (4,0 điểm).
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1(2,0 điểm)
1
P
xy
(với x ≥ 0, y ≥ 0, xy ≠ 1 )
a) Rút gọn biểu thức P.
b) So sánh P và P
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: 10x 1 + + 3 x − = 5 9 x + + 4 2x 2 −
b) Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho điểm I ( ) 2;1 Tìm tọa độ các điểm , A B tương ứng thuộc các tia Ox , Oy sao cho tổng IA IB AB + + có độ dài nhỏ nhất.
Câu 3 (1,0 điểm)
Tìm số nguyên n > 2008 sao cho: 22008 + 22012 + 22013 + 22014 + 22016 + 2n là
số chính phương.
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho nửa đường tròn ( O; R , đường kính AD cố định Vẽ tứ giác ABCD nội )
tiếp nửa đường tròn ( O R Gọi I là giao điểm của AC và BD ; K là hình chiếu ; )
của I trên AD.
a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK
b) Gọi F là giao điểm của CK và BD Chứng minh: BI DF = BD IF
c) Gọi E là trung điểm của ID Chứng minh: ED2 = EB EF
d) Xác định vị trí điểm B để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD
lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo R
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 2a 3 + b + 4 c = 2015 Chứng minh :
3 4 2020 2a 4 2020 2a 3 2020
15
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán)
( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )
m Câu 1
a)
1,25
điể
m
( )( )
:
1
P
xy
=
0,5
.
=
( 1 2 ) ( 1 1 ) 1 2
+
b)
0,75
điể
m
Lại có x + ≥ 1 2 x với x ≥ 0 nên 2 2
1
1 2
P
Câu 2
a)
1,0
điể
m
ĐK : x ≥ 5 / 3
phương trình ban đầu trở thành :
0
3
x
⇔ = (thỏa mãn) vì
0
3 10x 1 9x 4 + 9x 4 2x 2 > ∀ ≥ x
Vậy pt có tập nghiệm S = { } 3
0,25
b)
1,0
điể
m
Gọi Kđối xứng với I qua tia Oy, suy ra K ( − 2;1 )
Gọi H đối xứng với I qua tia Ox, suy ra H ( 2; 1 − ) 0,25
Ta có:AI = AH BI , = BK suy ra IA IB AB AH + + = + AB BK HK + ≥ 0,25 Dấu "=" ⇔ H A B K , , , thẳng hàng hay A B , là giao điểm của đường
Trang 3phương trình 1
: 2
HK y = − x
Câu 3
1,0
điểm
Ta có:
n n
n
−
−
là số chính phương khi và chỉ khi 369 2 + n−2008 = b2 với b ∈ ¥*
0,25
Đặt a n= − 2008 là số nguyên dương , ta có pt :
2
369 2 + a = b
Xét trong hệ đồng dư mo d3 ta có:
369 0 mod3 ;2 ≡ a ≡ 1;2 mod3 ; b ≡ 0;1 mod3
Suy ra 2a ≡ 1 mod3 ( )suy ra alà số chẵn hay a = 2 c c ∈ ¥*
0,5
Phương trình trở thành : 369 = − b2 22c ⇔ 41.3.3 = − ( b 2c)( b2 + 2c)
Do b + > − 2c b 2csuy ra :
2 ; 2 41;9 ; 369;1 ; 41.3;3
;2 25;16 ; 185;184 ; 63;60
; 25;4
c
b
b c
Vậy n a = + 2008 2 = c + 2008 2016 = là số cần tìm
0,25
Câu 4
a)
1,0
điểm
Ta có · ABD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
· AKI = 900 (gt)
Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp ⇒ IBK CAD · = ·
0,25
Lại có IBC CAD · = · (cùng chắn CD » )
A
K
E F
I B
C
D
.
O
Trang 4VậyI là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK. 0,25
b)
1,0
điểm
Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác BCF, suy ra :
Lại có · ACD = 900 ⇒ CD CI ⊥ ⇒CD là phân giác ngoài của tam giác
suy ra : BD CB ( ) 2
Từ (1) và (2), có : BI BD BI DF BD IF
c)
1,0
điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
/ 2
KE ED ID
⇒ tam giác KED cân tại E
Mà · BDA BCA = · (2 góc nội tiếp cùng chắn »AB)
Suy ra BEK · = 2 · BCA ( ) 3
0,25
Mặt khác CI là phân giác ·BCK ( chứng minh trên)
· 2 · ( ) 4
Từ (3) và (4) suy ra BEK · = · BCK , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp
0,25
Suy ra · EKC EBC EBK = · = · ⇒ ∆ EKFđồng dạng ∆EBK
EK EB EF
Mà EK = ED ( chứng minh trên)
d)
1,0
điểm
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABD vuông tại B, suy
ra :r= AB BD AD AB BD+ − = + −2R
AB BD + ≤ AB + BD = AD = R
⇒ AB BD + ≤ 2 2 R ( dấu " =" xảy ra khi AB BD R = = 2 ) 0,25
Vậy max r = 2 R ( 2 1 − ) khi và chỉ khi AB BD = ⇔ » AB BD = » ⇔B là
điểm chính giữa »AD
0,25
Câu 5
1,0
Đặt x=2a+1;y=3b+1;z=4c+1 thì bất đẳng thức trở thành : cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z+ + =2018chứng minh :
15
Ta có:
0,5
Trang 51 1 1
9
VT
x y z
+ +
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.