Câu 1(2,0 điểm). Cho biểu thức: (với ) . a) Rút gọn biểu thức . b) So sánh và . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải hệ phương trình: b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): và đường thẳng (d) có phương trình . Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy. Tìm để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN. Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: . Câu 4 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn , đường kính cố định. Vẽ tứ giác nội tiếp nửa đường tròn . Gọi là giao điểm của và ; là hình chiếu của trên . a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . b) Gọi là giao điểm
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1(2,0 điểm)
1
P
xy
(với x0, y0, xy1)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) So sánh P và P
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d) có
phương trình y x m Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy.
Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN.
Câu 3 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thoả mãn: 6 x y2 3 3 x2 10 y3 2
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho nửa đường tròn O; R , đường kính AD cố định Vẽ tứ giác ABCDnội tiếp nửa đường tròn O R Gọi ; I là giao điểm của AC và BD; K là hình chiếu của I
trên AD.
a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.
b) Gọi F là giao điểm của CK và BD Chứng minh: BI DF BD IF
c) Gọi E là trung điểm của ID Chứng minh: ED2 EB EF
d) Tính BCD biết chu vi tam giác ABD lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 3 Chứng minh :
4
a b b c c a
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Tin)
( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )
Câu 1
a)
1,25
điểm
:
1
P
xy
0,5
.
b)
0,75
điểm
Lại có x 1 2 x với x 0 nên 2 2
1
1 2
P
Câu 2
a)
1,0
điểm
0;
2
x y
Phương trình thứ nhất tương đương với (x2 )(y x y 1) 0
2 ( )
1
x y l
x y
0,25
Với x y 1Thế vào phương trình thứ hai ta được
2
1 2 2 1 4 0
8 1 7 19 19
7
49 330 425 0
y y y
y y
0,25
19 7 5 85 ( ) 49
y y
Với y 5 thì x 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ; 4;5 0,25
b)
1,0 Phương trình hoành độ giao điểm
2 0 (1)
x x m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt
0,25
Trang 3x1, x2 Điều kiện là 1 4 0 1
4
Gọi A x x 1; 1 m B x x , 2; 2 m Theo Vi-ét : x1 x2 1; x x1 2 m
(d) cắt Ox tại M(-m;0), (d) cắt Oy tại N(0;m) với m0. 0,25
Diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN khi và chỉ khi
2
2( ) 2 ( ) 4
4 1 0
AB MN AB MN x x m
x x x x m
m m
0,25
2 5
m
Câu 3
1,0
điểm
2 (3 5) (3 5) 7
(3 5)(2 1) 7
x y x y
y x x
x y
0,25
3 5 1 3 5 1 3 5 7 3 5 7
2 1 7 2 1 7 2 1 1 2 1 1
0,25 2
3
1 1
y y
Vậy x y ; 2; 1 ; 2; 1 0,25
Câu 4
a)
1,0
điểm
Ta có ABD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
AKI 900 (gt)
Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp IBK CAD
0,25
Lại có IBC CAD (cùng chắn CD )
Suy ra IBK IBC BI là phân giác góc CBK 0,25
Chứng minh tương tự có CI là phân giác BCK 0,25
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK. 0,25
b)
1,0
điểm
Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác của tam giác BCF, suy ra :
IF CF (1) ( t/c đường phân giác của tam giác)
0,25
A
K
E F
I B
C
D
.
O
Trang 4Lại có ACD 900 CD CI CD là phân giác ngoài của tam giác
suy ra : BD CB 2
DF CF ( t/c đường phân giác của tam giác) 0,25
Từ (1) và (2), có : BI BD BI DF BD IF
c)
1,0
điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
/ 2
KE ED ID
tam giác KED cân tại E
( t/c góc ngoài của tam giác)
Mà BDA BCA (2 góc nội tiếp cùng chắn AB)
Suy ra BEK 2 BCA 3
0,25
Mặt khác CI là phân giác BCK ( chứng minh trên)
2 4
Từ (3) và (4) suy ra BEK BCK , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
0,25
Suy ra EKC EBC EBK EKFđồng dạng EBK
EK EB EF
Mà EK ED ( chứng minh trên)
d)
1,0
điểm
Chu vi tam giác ABD lớn nhất AB BD AD AB BD 2R lớn nhất
AB BD lớn nhất 0,25
Ta có : AB BD 2 2 AB2 BD2 2 AD2 8 R2
AB BD 2 2 R ( dấu "="xảy ra khi AB BD R 2 ) 0,25
Như vậy chu vi tam giác ABD lớn nhất là (2 2 2)R khi AB =BD tức tam
BAD BCD ( vì tứ giác ABCD nội tiếp )
0,25
Câu 5
1,0
điểm
3
x y z x y z x y z
Ta có:
2
( ) ( ) ( ) 3
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a
Vì 1 1 1 9 x y z, , 0
xyz x y z
0,25
0,25
Trang 5Vậy 2 2 2
(a b ) (b c ) (c a ) 4
Dấu “=” a b c 1
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.