Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E... EC ta có EC ED = EB EA và Góc E chung nên tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB.
Trang 1Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành
Đề thi phát hiện học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008-2009
Môn :Toán
Thời gian làm bài 120 phút
Câu1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức P =
2
1
3 n n
x x
a, Tìm điều kiện để P có nghĩa rồi rút gọn P
b, Tính giá trị của biểu thức P tại x = 1
Câu2: (3 điểm)
a, Giải phơng trình
(x - 1)(x + 1)(x2 - 2 ) = 6
b, Cho a, b, c l là các số hữu tỷ khác 0 thoả mãn a + b + c = 0 à là các số hữu tỷ khác 0 thoả mãn a + b + c = 0
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c là bình phơng của một số hữu tỷ.
B i 3:(4điểm) ài 3:(4điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (â=900) Trên cạnh AB lấy điểm M (M A; M B)
Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E Chứng minh:
a EB.ED = EA.EC b.ADE = 450
c BD.BE + CA.CE không đổi
Bài 4: (1.0điểm)
Cho S = a a13 32 a a33 32009 ; P = a a1 2 a a3 2009
Trong đó a ;a ;a ; ;a1 2 3 2009 là các số nguyên
Chứng minh rằng: S 6 P 6
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Đáp án và biểu điểm
Kỳ thi phát hiện học sinh giỏi lớp 8 môn Toán
1
(2đ) a, Đkxđ: 0
3
x x
P = 2 4 13
3 n n
x x
0,25
0,5
Trang 2P =(3 )( 1)
(3 )
n
x x
P =x n1
x
b, x = 1 1
1
x x
+ Nếu x = 1 thì P = 0
+ Nếu x = -1; n chẳn thì P = - 2,
n lẻ thì P = 2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
2
(3đ) a, (x - 1)(x + 1)(x2 - 2) = 6
(x2 - 1)(x2 -2) = 6 (1) Đặt x2 - 1 = a
Do đó (1) a(a - 1) = 6 a2 - a - 6 = 0
(a - 3)(a + 2) = 0 3
2
a a
Nếu a = 3 thì x2 - 1 = 3 x2 = 4 2
2
x x
Nếu a = -2 thì x2 - 1 = -2 x2 = -1 x không tồn tại
Vậy nghiệm của phơng trình là:x = 2; x= -2
0,5 0,5 0,25 0,25
b, Ta có:
0,5 0,5
0,5
3
(4đ)
a
AEB ~ DEC (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc E) Nên
ED
EA
=
EC
EB
vậy EB ED= EA EC C
M
A B
D
E
1,0
2
2
2
1 1 1
a b c
a b c
Trang 3Từ EB ED= EA EC ta có
EC
ED
=
EB
EA
và Góc E chung nên tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB Nên ADE = C ( mà C = 450)
Vậy góc ADE = 450
1,0
c
Ta có M là trực tâm của tam giác ECB
Gọi H là giao điểm của EM và CB nên EH CB
Tơng tự câu a ta có: BD BE = BH BC
CA CE = CH CB
Vậy BD BE + CA CE = BC(CH + BH) = BC2
1,0
4
(1đ)
Ta có: k3- k 6 ( với k)
Thật vậy: k3- k = k(k - 1)(k + 1) Mà k, k - 1, k + 1 là ba số nguyên
liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3
mà (2; 3) = 1 và 2.3 = 6 vậy k(k - 1)(k + 1) 6
S - P =(a a ) (a a ) (a31 1 32 2 32009 a2009) 6
Vì a a 6;a a 6; ;a13 1 32 2 32009 a2009 6
Do đó S 6 P 6 (đpcm)
0,25 0,25 0,25 0,25