Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn O.. Chứng minh rằng ZT luôn đi qua điểm cố định.. Chứng minh rằng tập các số đẹp chứa vô hạn số lẻ và vô hạn số chẵn.. Các điểm C, D
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Trường Trung học Phổ thông Chuyên
——————————————————–
TỔ TOÁN TIN
ĐỀ NGUỒN VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN OLYMPIC DUYÊN HẢI NĂM HỌC 2014-2015
Hà Nội, Năm 2015
Trang 2TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ NGUỒN THI OLYMPIC DUYÊN HẢI MÔN TOÁN - LỚP 10
Năm học 2014 − 2015 Thời gian: 180 phút
Câu 1 Giải hệ phương trình
( (xy)3 + 3xy3 + 1 = 5y2 3xy3 = 2y2 + 1.
Câu 2 Cho ba số dương a, b, c > 0 Chứng minh rằng
(a + b)2
(b + c)2
(c + a)2
ca ≥ 9 + 2
a
b + c +
b
c + a +
c
a + b
Câu 3 Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) Một điểm M
cố định trên cung nhỏ d BC của (O) khác với B, C Điểm N thay đổi trên đoạn AM
và nằm trong tam giác ABC N B, N C tương ứng cắt AC, AB ở X, Y M X, M Y gặp (O) ở các điểm thứ hai Z, T Chứng minh rằng ZT luôn đi qua điểm cố định.
Câu 4 Một số nguyên dương n được gọi là đẹp nếu như nó có thể biểu diễn dưới dạng (x
2 + y)(x + y2)
(x − y)2 , trong đó x > y là các số nguyên dương.
1 Chứng minh rằng tập các số đẹp chứa vô hạn số lẻ và vô hạn số chẵn.
2 Tìm số nguyên dương bé nhất mà là số đẹp.
Trang 3TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
———–***———–
ĐỀ NGUỒN THI OLYMPIC DUYÊN HẢI MÔN TOÁN - LỚP 11
Năm học 2014 − 2015 Thời gian: 180 phút
Câu 1 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng
a (b + c)2 + b
(a + c)2 + c
(a + b)2 ≥ 9
4(a + b + c) .
Câu 2 Cho P là một đa thức hệ số thực có bậc bằng 2016 Hãy xác định tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn f (x) = f (x + P (y) + f (y)) với mọi x, y ∈ R.
Câu 3 Các điểm C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB và điểm P thuộc đoạn
AB sao cho AC = AP , BD = BP N là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác P CD và AB E là giao điểm của AC và BD K là hình chiếu của N trên CD Chứng minh rằng EK ⊥ AB.
Câu 4 Trong mỗi ô vuông của bảng 50 × 50 ta viết số ±1 sao cho tổng các số trong bảng có giá trị tuyệt đối không lớn hơn 100 Chứng minh rằng tồn tại hình vuông con 25 × 25 với các cạnh là các đường lưới sao cho tổng tất cả các số trong hình vuông con đó có trị tuyệt đối không lớn hơn 25.
Trang 4Hướng dẫn giải đề thi lớp 10
1 Đầu tiên y = 0 không thỏa mãn Với y 6= 0, chia phương trình đầu cho y3, hệ viết lại ở dạng
x3+ 3x + 1
y3 = 5
y 6x = 4
y +
2
y3
Cộng lại cho ta x3 + 9x = 1
y3 + 9
y Suy ra x =
1
y Ta thu được 3y
2 = 2y2 + 1 hay y = ±1 Từ đó x = y = ±1 Đáp số (x, y) = (±1, ±1)
2 Bất đẳng thức tương đương với
2X
sym
a
b +
b a
≥ 6 + 4 X
cyclic
a
b + c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
4 X
cyclic
a
b + c ≤
X
sym
a
b +
a c
Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì
X
sym
a
b +
b a
≥ 6
Do đó ta có kết quả
3 Gọi D = XY ∩ BC, P = XY ∩ AM, E = DM ∩ (O), Q = AM ∩ BC Ta có (DQBC) = −1 nên
M (DBQC) = −1 Suy ra EBAC điều hòa Từ A(DQBC) = −1 ta suy ra A(DP Y X) = −1 Do vậy
M (DP Y X) = −1 hay M (EAZT ) = −1 Từ đây ET AZ điều hòa Thành thử ZT, BC, AA đồng quy
4 1 Cho x = y + 1 ta suy ra có vô hạn số lẻ đẹp Cho x = 2y + 1 ta suy ra có vô hạn số chẵn đẹp
2 Đáp số n bé nhất là 10 Đầu tiên ta chọn (x, y) = (3, 1) thì được số đẹp 10 Tiếp theo giả sử n đẹp, khi đó vì x − y | (x2+ y) − (x + y2) và (x − y)2 | (x2+ y)(x + y2) nên x − y | x2+ y, x + y2 Từ đó đặt x2+ y = u(x − y) và x + y2 = v(x − y) Suy ra u > v là các số nguyên và hơn nữa v ≥ 2 Ta có
n = uv và x + y − 1 = u − v Do vậy u − v ≥ 2y ≥ 2 Từ đó v ≥ 2 và u ≥ 4 Suy ra n ≥ 8 Nếu n = 8 thì u = 4, v = 2 Tuy nhiên khi đó x + y − 1 = 2 hay x + y = 3 ta thu được x = 2, y = 1 Thay vào thì không thỏa mãn Nếu n = 9 thì từ uv = 9 và 1 < v < u sẽ không có nghiệm Vậy n ≥ 10
Trang 5Hướng dẫn giải đề thi lớp 11
1 Bất đẳng thức tương đương a(a + b + c)
(b + c)2 +b(a + b + c)
(a + c)2 +c(a + b + c)
(a + b)2 ≥ 9
4 hay có thể viết dưới dạng
a2 (b + c)2 + b
2
(a + c)2 + c
2
(a + b)2 + a
b + c +
b
a + c+
c
a + b ≥
9 4 Tuy nhiên điều này suy trực tiếp từ bất đẳng thức Nesbit và bất đẳng thức phụ 3(x2+ y2+ z2) ≥ (x + y + z)2
2 Ta thấy f (x) ≡ −P (x) là một nghiệm hàm Giả sử f (x) 6≡ −P (x) Đặt g(y) = f (y) + P (y) Khi đó tồn
ta y0 sao a = g(y0) 6= 0 Suy ra f (x) = f (x + a) với mọi x Ta có f (x) = f (x + g(y)) với mọi x, y Từ đây
f (x) = f (x + g(y + a)) và f (x + a) = f (x + a + g(y)) với mọi x, y Từ đây f (z) = f (z + g(y + a) − g(y) − a) với mọi z Chú ý h(y) = g(y + a) − g(y) − a là đa thức có bậc 2015 lẻ nên h toàn ánh Vậy f hằng số
3 Ta có \N CD = \BP D = 180
◦− B
2 =
\ ACD
2 Vậy CN là phân giác \ACD Tương tự DN là phân giác
\
BDC Tóm lại N là tâm bàng tiếp đỉnh E của tam giác ECD
Gọi H là hình chiếu của E lên AB và K0 = EH ∩CD Theo giả thiết cos A+cos B = AC + BD
AB = 1 Suy
ra EB
HB·
AH
EA·
EB
EA =
cot A/2 cot B/2 Do vậy
EB
EA·
EC ED
S(EAK0) S(EBK0) =
cot A/2 cot B/2 Suy ra
S(ECK0) S(EDK0) =
AB + AE − BE
AB + BE − AE hay tương đương CK
0
DK0 = DC + DE − EC
CD + F C − DE Vậy ta được
CK0
DK0 = CK
DK Vậy K ≡ K
0
4 Phản chứng rằng giả sử rằng tất cả các hình vuông con 25 × 25 đều không có tính chất đó Xét một hình vuông con bất kì I bất kì Ta tịnh tiến hình vuông này sang trái hoặc sang phải một cột hoặc lên hoặc xuống một dòng ta được hình vuông con II Ta chỉ ra SI, SII cùng dấu Thực vậy nếu không thì
|SI− SII| = |SI| + |SII| ≥ 26 + 26 = 52 Mặt khác, ta có |SI− SII| ≤ 25 + 25 = 50 (vì các hình vuông này chung 24 dòng hoặc 24 cột) Tóm lại ta được tất cả các hình vuông con có tổng cùng dấu
Ta chia hình vuông ban đầu thành bốn hình con bằng nhau ở bốn góc Vì các tổng cùng dấu nên ta suy
ra tổng các số có trị tuyệt đối lớn hơn 4 × 25 = 100, mâu thuẫn
Danh sách các thầy cô đề xuất bài
1 Thầy Nguyễn Sơn Hà: Câu 1 – Đề lớp 10 và Câu 2 – Đề lớp 11.
2 Thầy Nguyễn Minh Hà: Câu 3 – Đề lớp 11.
3 Thầy Hà Duy Hưng: Câu 2,3,4 – Đề lớp 10 và Câu 1,4 – Đề lớp 11.
Biên soạn đề thi: TS Hà Duy Hưng