4,0 điểm Cho tam giác ABCnhọn có trực tâm H, nội tiếp đường tròn O.. Đường thẳng CH cắt AB tại D.. Đường thẳng qua Dvuông góc với OD, cắt đường thẳng BCtạiE.. Đường tròn ngoại tiếp tam
Trang 1
HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 11- NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút
TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm) Tìm tất cả các số thực x y, thỏa hệ:
1 1
2 1
x y
x y
x + y +
ìï >
ïïï + = íï
ïî
Câu 2 (4,0 điểm) Cho số thực a,xét dãy số ( )x n n³1được xác định bởi
3
n
+
Tìm tất cả các giá trị của ađể dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?
Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn có trực tâm H, nội tiếp đường tròn ( )O Đường
thẳng CH cắt AB tại D Đường thẳng qua Dvuông góc với OD, cắt đường thẳng BCtạiE
Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH cắt đường thẳngAB tại F(Fkhông trùng B) Chứng minh ba điểm E F H, , thẳng hàng
Câu 4 (4,0 điểm) Tìm số nguyên dương mnhỏ nhất sao cho tồn tại hàm số f :¥*®¡ \{- 1;0;1} thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
i/ f m( ) = f(2015 ,) (f m+ =1) f(2016 ;)
ii/ ( ) ( )
( )
1 , 1, 2,
1
f n
f n
+
Câu 5 (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương m n, ; một bảng hình vuông kích thước n n´ được
gọi là bảng “m- hoàn thiện” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm
(không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng m
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập bảng “2015-hoàn thiện” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ
nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng?
(Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng có số thứ tự tính từ trên xuống và cột có số thứ tự tính từ trái sang bằng nhau; ô ở tâm bảng 3x3 là ô ở dòng thứ 2 và cột thứ 2)
Trang 2
ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
1 Ta chứng minh nếu các số x y, thỏa mãn hai điều kiện đầu thì
x + y + £ Û x+ x+ +y y£ Thay y= -2 x, ta chứng minh
f x( ) (= +x 1 ln) x+ -(3 x) (ln 2- x)£ với 0 0< <x 2
Ta có '( ) ln ln 2( ) 1 1
2
( )
2 2
2 2
''
1
0
f x
x
-2,0
Do đó f x nghịch biến trên '( ) (0;2 , hơn nữa ) f ' 1( )= nên 0 f x nhận giá trị '( )
dương trên ( )0;1 và âm trên ( )1;2 Suy ra f x( )£ f( )1 = với mọi 0 xÎ (0;2 )
Từ đó, hệ phương trình có nghiệm x= =y 1.
2,0
2 Với a=- 1thì x n=- 1," ³ nên limn 1 n x n 1
Do đó
1
1
1
n
n
÷
=çç ÷= çç ÷÷ " ³
÷
n
2,0
®+¥
®+¥
Trang 3
+ 3 3, 1 lim 3.
®+¥
3
Gọi I J, lần lượt là giao điểm của đường thẳng DEvới đường tròn (ABC), I
và Anằm cùng phía đối với BC Vì OD^IJ nên Dlà trung điểm IJ
Ta có ·DCF=DBH· =900- BAC· =DCA· nên Dlà trung điểm AF, vậy tứ giác
AIFJlà hình bình hành, suy ra ·IFJ =IAJ· .
1,5
Gọi K là giao điểm đường thẳng CDvới đường tròn(ABC () Kkhác C), thì D
là trung điểm HK, do đó tứ giác IKJHlà hình bình hành, nên ·IKJ =IHJ· . 0,5
Ta có ·IFJ +IHJ· =IAJ· +IKJ· =1800nên các điểm I F J H, , , nằm trên một
Vì IJ là trục đẳng phương của hai đường tròn (ABC , ) (IHJ ; ) BClà trục đẳng
phương hai đường tròn (ABC) (, HBC nên giao điểm ) Ecủa BC IJ, là tâm đẳng
phương ba đường tròn(ABC) (, HBC và ) (IHJ nên điểm) Enằm trên FH là trục
đẳng phương hai đường tròn (IHJ) (, HBC)
1,5
Trang 4
* 1
f n
Với m=1, ta có f n( + =4) f n( ) Þ f n( +4k)= f n( ),"k n, Î ¥*
( )
( ) ( )
( ) ( )
* 1
1
1
f n
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
f
1,0
Với m=2, ta có f n( + =8) f n( )Þ f n( +8k)= f n( ),"n k, Î ¥*
và ( )
( ) ( )
*
1 1
1
f n
( )
1
3
f
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) )2
1
4
f f
f
=
=-+ Điều mâu thuẫn trên dẫn đến m³ 3
1,0
Với m=3, ta xây dựng được vô số hàm f thỏa yêu cầu bài toán như sau
Cho aÎ ¡ \{- 1;0;1}, đặt ( )1 ; ( )2 1 ; ( )3 1;
1
a
+
=
và ( ) ( )
( )
1
1
f n
f n
+ Khi đó, chứng minh quy nạp thì hàm số xác định trên ¥*và
( ) \{ 1;0;1 ,} *
f n Î ¡ - " În ¥ hơn nữa theo chứng minh trên
( )
( )
1 6
f n
f n
+ =- , f n( +12k)= f n( ),"n k, Î ¥*
1,5
Trang 5Khi đó ( ) ( ) ( )
( )
( )
f
+
( )
( )
Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
5 Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “m- hoàn thiện” kích thước 3x3
Gọi x y z t, , , lần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1 cột 2 , khi đó các số còn lại ở các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới
-m+ -z x- y t- y x t+ - z
y t+ - z m- y t- z
2,0
Vì các số được điền là không âm và ylà số nhỏ nhất trong các số ở đường chéo chính nên các điều kiện sau phải thỏa
x y z t x t m x t z z y t m
Các điều kiện trên có thể rút gọn lại thành
0£ =y min , , ;x y z x t+ £ m z; £ +y t * Khi đó 0£ £y 2y t+ - z£ + + -x y t z£ + £x t m.
Ta thấy rằng bộ bốn số không âm ( y y t;2 + - z x; + + -y t z x t; + sắp theo thứ)
tự tăng dần xác định duy nhất bộ các số x y z t, , , thỏa mãn ( )* và tương ứng với một cách lập bảng “m- hoàn thiện” Do vậy, số cách lập được là 4
4
m
æ + ÷ö
Áp dụng với m=2015được kết quả là 2019
4
æ ö÷
2,0