SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANGTRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ NỘP NGÂN HÀNG ĐỀ DUYÊN HẢI MÔN TOÁN LỚP 11.. Câu 4 4 điểm Cho tam giác nhọn ABC không cân.. Gọi H, O lần lượt là trực tâm,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ NỘP NGÂN HÀNG ĐỀ DUYÊN HẢI MÔN TOÁN LỚP 11.
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề
Câu 1 (4 điểm) Ký hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Giải phương trình
x x x
Câu 2 (4 điểm) Giải hệ phương trình:
2
2
Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm f: thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) Với mọi cặp a, b nguyên dương không nguyên tố cùng nhau, ta có
f(a).f(b)=f(ab) ii) Với mọi bộ a, b nguyên dương tồn tại một tam giác không suy biến có độ
dài ba cạnh là f(a), f(b) và f(a+b-1).
Câu 4 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, hai đường cao AD, BE OD cắt BE tại K, OE cắt
AD tại L Gọi M là trung điểm AB Chứng minh rằng K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn
Câu 5 (4 điểm) Cho số nguyên n 2 Chứng minh rằng trong mọi họ gồm ít nhất 2n1 1
tập hợp con không rỗng phân biệt của tập 1, 2, , n đều tìm được ba tập hợp mà một trong chúng là hợp của hai tập còn lại
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Câu 1
(4
điểm)
Ta có x 0.
pt x x2 x 2015 x 1 x2 x 2015 x x 2015
1,0
2
2
* 2
x
1,0
2
2
2015 (t/ m);
2
2015
x
loai
1,5
2
2
0,5
Câu 2
(4điểm
)
Điều kiện : 0yx 14
2
2 2
2
1
y x
1,5
Thế vào pt đầu ta được
2 2
2
2,0
2
3 21 2
5 21 2
x
y
0,5
Trang 3Câu 3
(4
điểm)
Từ đk 2, với mọi bộ a, b nguyên dương, ta có
1 ;
f a f b f a b
f a f a b f b
f a b f b f a
2
2
Nếu f(2)=1 Do 2f(2)>f(1) nên f(1)=1
1.0
Quy nạp chứng minh f(n)=1 với mọi n nguyên dương
Cho a=n; b=2 : f(n+1)<f(n)+f(2)=2, nên f(n+1)=1
Nếu f(2)=2, bằng quy nạp chứng minh được
(4) (2) (3) 2 (2) (3) 3
k
1.0
Quy nạp chứng minh f(n)=n với mọi n >=2
Cho a=n-1; b=2 ta có f(n)<f(n-1)+f(2)=n+1, nên f(n)<=n.
Lấy r là số nguyên lớn nhất sao cho 2r không vượt quá n
Nếu n= 2r+s với 1 s 2r.
f n n
f(n)=n với mọi n >=2
Do f(1)<2f(2)=4 nên f(1) bằng 1, 2 hoặc 3
Vậy f(n)=1 với mọi n nguyên dương
Hoặc f(n)=n với mọi n>=2; f(1) thuộc {1,2,3}
1.0
Câu 4
(4
điểm)
Sử dụng Menelaus cho tam giác HAB và 3 điểm K, L, M thẳng hàng
Vậy
; R c osA cos
; R c osA cos
AOE BOD
Do đó hệ thức xảy ra khi và chỉ khi S HOE S HOD OH / /DE hoặc OH đi qua
trung điểm P của DE.
2,0
Trang 4Câu 5
Qua C kẻ tiếp tuyến d với đường tròn (C) thì d song song với DE
Do CO vuông góc với d nên CO vuông góc với DE
Nếu OH đi qua P thì P là trung điểm của OH, hay EDOH là hình bình hành, suy
ra EO và HD song song (trái giả thiết)
Vậy K, L ,M thẳng hàng khi và chỉ khi OH song song với DE, hay OH vuông
góc với CO, tương đương C, D, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CH
1,5
Giải bằng quy nạp
Với n=2 ,ta có {1;2}={1}U{2}
Với n>=2, giả sử có 2n+1 tập con không rỗng của tập {1,2, ,n+1} 0.5
Nếu ít nhất trong 2n-1+1 tập hợp trong chúng không chứa n+1, theo giả thiết quy
nạp ta có đpcm
Nếu ít nhất 2n-1+2 tập hợp chứa n+1 thì bỏ n+1 ra khỏi các tập hợp này và ta áp
Nếu có đúng 2n-1 tập con không chứa n+1 thì có đúng 2n-1 tập con chứa n+1 (có
nhiều hơn 1 phần tử) và tập {n+1}
Loại bỏ n+1 trong những tập con này ta được 2n tập con khác rỗng của tập
{1,2, ,n},
1.0
và do đó trong chúng phải có hai tập trùng nhau, gọi đó là A
Người ra đề: Trần Thị Hà Phương - đt: 0983207082