HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT.. a/ Chứng minh rằng khi I di động trên T thì các đường thẳng HL và MN cắt nhau tại một điểm cố định
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT TỈNH QUẢNG NGÃI
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11
NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho 2k số nguyên lẻ 1 a a0, ,1 ,a2k (k ) Chứng minh rằng phương trình
không có nghiệm hữu tỷ
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho dãy ( ) un xác định như sau: u =1 3 và
2015
1 2014
6
n
Với mỗi số nguyên dương n, đặt 2014
1
1 4
n n
i i
v
u
Tìm lim n
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (T) tâm O đường kính AB2R và điểm I di động trên (T), (
,
I A I B) Gọi ( )O , 1 ( )O là hai đường tròn nhận OI làm tiếp tuyến chung đồng2
thời ( )O tiếp xúc với (T) tại M và tiếp xúc với OA tại N; 1 ( )O tiếp xúc với (T) và2
OB theo thứ tự tại H và L Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của ( )O với1
MA và MB
a/ Chứng minh rằng khi I di động trên (T) thì các đường thẳng HL và MN cắt nhau
tại một điểm cố định trên (T)
b/ Gọi E là giao điểm của CN với BK và F là giao điểm của DN với AK Chứng minh rằng khi I di động trên (T) ta luôn có p R (3 2), trong đó p là nửa chu vi của tứ giác ABEF.
Câu 4 (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập hợp các số nguyên không âm
lấy giá trị trên tập hợp đó và thỏa mãn điều kiện:
( ( ))f f n n 2, n
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho tập S gồm tất cả các số nguyên trên trong đoạn [1;2014] Gọi T là tập hợp gồm tất cả các tập con không rỗng của S Với mỗi tập hợp X T , ký hiệu ( )m X là
trung bình cộng của tất cả các số thuộc X Đặt ( )
| |
m X m
T
(ở đây tổng được lấy
theo tất cả các tập hợp X T ) Hãy tính giá trị của m.
Người ra đề Nguyễn Thanh Quang Điện thoại liên hệ: 0983 901 825
Trang 2ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 11
Câu 1
q
q
Vì a2k,a là những số lẻ nên 0 p q, lẻ
Câu 2
(4 điểm) Đặt 2014 ta có
2015
1 2014
n
u
Xét
1
0.5 0.5
2 3 6
lim n
n u
0.5
Từ (*) suy ra
1
1
2014
1
n
v
Vậy
1
2
m (
n
n
v
u
Câu 3
(4 điểm) Lời giải
0.5
1 , ,
O O M thẳng hàng.
0.5
Trang 3Mà
0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
Câu 4
Từ đó bằng quy nạp ta có:
* n2k 1 f(2k1)f(1) 2 k
0.5 0.5
Nếu (0) 2f a thì f f (0) f(2 )a f(0) 2 a2a2a4a
Ta có 2f f (0)f(2a1)f(1) 2 a
0.5
( )
f n
0.5
Câu 5
(4 điểm) Với mỗi x [1, 2, , 2014], đặt m k m(X) ở đây tổng được lấy theo tất cả
2013
k
C
k
Do đó
1
2013
2014 2014
k
k
C
k
2014 2015
2
1.0
2
Cách 2 Xây dựng song ánh từ T vào T như sau
Suy ra 2m(X) m(X)m(f(X)) | T | 2015
m
Nguyễn Thanh Quang Điện thoại liên hệ: 0983 901 825